定理15.1若级数[al +Z(I a, I +Ib, D).2n=1收敛，则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛证对任何实数x，由于I a, cos nx + b, sin nx [≤| an I + I b, I,根据优级数判别法，就能得到本定理的结论为进一步研究三角级数(4)的收敛性,先讨论三角函数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所后页返回前页
前页 后页 返回 定理 15.1 若级数 = + + 0 1 | | (| | | |). 2 n n n a a b 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 | cos sin | | | | |, n n n n a nx b nx a b + + 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
有函数具有共同的周期2元其次，在三角函数系(5)中，任何两个不相同的函数的乘积在[一元,元]上的积分等于零，即1元(6)cos nxdx =sin nxdx =0,一元?元cos mxcos nxdx =0 (m ± n),元元(7)sinmxsinnxdx =0 (m ± n)一元?元cos mx sin nxdx =0 .一元而(5)中任何一个函数的平方在[-元,元]上的积分都后页返回前页
前页 后页 返回 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 − − = = π π π π cos d sin d 0, (6) nx x nx x π π π π π π cos cos d 0 ( ), sin sin d 0 ( ), (7) cos sin d 0 . mx nx x m n mx nx x m n mx nx x − − − = = = 有函数具有共同的周期 2π. 的乘积在 [ , ] − 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零，即元sinxdx=元,cos"nxdx =中一元2(8)["1'dx = 2元一元若两个函数 与 在[a,b]上可积,且[, o(x)y(x)dx = 0则称β与在[a,b]上是正交的,或在[a,b]上具有正交性。由此三角函数系(4)在[一元,元]上具有正交性或者说(5)是正交函数系后页返回前页
前页 后页 返回 不等于零, 即 π π 2 2 π π π 2 π cos d sin d π, (8) 1 d 2π nx x x x x − − − = = = 若两个函数 与 在 [ , ] a b 上可积, 且 = ( ) ( )d 0 b a x x x 则称 与 在 [ , ] a b 上是正交的, 或在 [ , ] a b 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 [−π,π] 上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系
二、以2元为周期的函数的傅里叶级数现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)的和函数f与级数(4)的系数αo,an,b,之间的关系。定理15.2若在整个数轴上.t) - " + Z(a, cos x +b, in nx)(9)f(x)2n=1且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：a, -_}", (x)cos xdx , n = 0,2,.,(10a)元-元I" (x)sindx , n =,2,b, =二(10b)7元后页返回前页
前页 后页 返回 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 0 , , n n a a b 之间的关系. 定理15.2 若在整个数轴上 = = + + 0 1 ( ) ( cos sin ) (9) 2 n n n a f x a nx b nx 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: π π 1 ( )cos d , 0,1,2, , (10 ) π n a f x nx x n a − = = 二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数 π π 1 ( )sin d , 1,2, , (10 ) π n b f x nx x n b − = =
证由定理条件，函数f在[一元,元]上连续且可积.对(9)式逐项积分得[", f(x)dx801do."dx+Z(ancos nxdx + b.sin nxdx).nn2 J元7Tn=1由关系式(6)知，上式右边括号内的积分都等于零所以f(x)dx ="g 2 = agn,2后页返回前页
前页 后页 返回 证 由定理条件, 函数 f 在 [ , ] − 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 − π π f x x ( )d − − − = = + + π π π 0 π π π 1 d ( cos d sin d ). 2 n n n a x a nx x b nx x 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以 π 0 0 π ( )d 2π π, 2 a f x x a − = =