三、收敛定理定理15.3（傅里叶级数收敛定理）若以2元为周期的函数,f 在[一元,元]上按段光滑,则在每一点x E[一元,元],f的傅里叶级数(12)收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即f(x+0)+ f(x -0) _aLZ(a, cos nx + b, sin nx)22n=-1其中an,b,为f的傅里叶系数定理的证明将在83中进行后页返回前页
前页 后页 返回 函数 [−π, π] x −[ π, π], f 在 上按段光滑, 则在每一点 f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的 算术平均值, 即 = + + − = + + 0 1 ( 0) ( 0) ( cos sin ), 2 2 n n n f x f x a a nx b nx , n n 其中 a b 为f 的傅里叶系数. 定理的证明将在§3中进行. 定理15.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 2π 为周期的 三、收敛定理
注尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数，但它对函数的要求却比幂级数要低得多，所以应用更广而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉概念解释1.若f的导函数在[a,b]上连续,则称f在[a,b]上光滑2.如果定义在[a,bl上函数f至多有有限个第一类间断点，其导函数在La.b上除了至多有限个点外都存在且连续，并且在这有限个点上导函数f”的左、右极限存在,则称f在[a,b]上按段光滑前页后页返回
前页 后页 返回 注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对 函数的要求却比幂级数要低得多, 所以应用更广. 而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉. 概念解释 1. 若f 的导函数在 [ , ] a b 上连续, 则称f在[a, b]上光滑. 2. 如果定义在 [ , ] a b 上函数f 至多有有限个第一类间 断点,其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 在且连续, 并且在这有限个点上导函数 f 的左、右 极限存在, 则称 f 在 [ , ] a b 上按段光滑
在[a,b]上按段光滑的函数f,有如下重要性质：(i) f在[a,b] 上可积.(i) 在[a,b]上每一点都存在f(x±0),如果在不连续点补充定义f(x)=f(x+0),或f(x)=f(x-0),则还有f(x+t) - f(x +0)lim f'(x +0),tt→0+(13)f(x-t)-f(x-0)= f'(x -0),lim :t→0+-t后页返回前页
前页 后页 返回 在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 [ , ] a b 上可积. (ii) 在 [ , ] a b 上每一点都存在 f x( 0) , 如果在不连续 点补充定义 f x f x ( ) ( 0) = + , 或 f x f x ( ) ( 0) = − , 则 还有 + + → → + − + = + − − − = − − 0 0 ( ) ( 0) lim ( 0), (13) ( ) ( 0) lim ( 0), t t f x t f x f x t f x t f x f x t
(i) 在补充定义f'在[a,b]上那些至多有限个不存在导数的点上的值后（仍记为f')，f"在[a,b]上可积从几何图形上讲，在yy=f(x)区间[a,b]上按段光滑光滑函数,是由有限个光滑弧段所组成，它至aoxxxxbx多有有限个第一类间图15-1断点 (图15-1)返回前页后页
前页 后页 返回 (iii) 在补充定义 f 在 [ , ] a b 上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后 ( 仍记为 f ), f 在[a, b]上可积. 从几何图形上讲, 在 区间[a, b]上按段光滑 光滑函数,是由有限个 多有有限个第一类间 断点 (图15-1). 光滑弧段所组成,它至 图15 1 − O b x y f x = ( ) 1 x 2 a x 3 x 4 x y
收敛定理指出，f的傅里叶级数在点x处收敛于f在该点的左、右极限的算术平均值f(x+0)+f(x-0)2而当f在点x连续时，则有f (x+0)+ f(x-0)2 = f(x),2即此时的傅里叶级数收敛于f(x）.这样便有推论若f是以2元为周期的连续函数，且在[一元,元]上按段光滑,则f的傅里叶级数在(-o0,+8)上收敛于f.后页返回前页
前页 后页 返回 收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 f 在 该点的左、右极限的算术平均值 ( 0) ( 0) + + − ; 2 f x f x 而当 f 在点 x 连续时,则有 + + − = ( 0) ( 0) ( ), 2 f x f x f x 即此时f的傅里叶级数收敛于 f x( ) . 这样便有 上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在 ( , ) − + 上收敛 于 f . 推论 若 f 是以 2π 为周期的连续函数, 且在 [−π, π]