定理若向量组7:a1,a2…,an可由向量组T2 B,B2…,B,线性表示,则7线性相关 推论若向量组T:a,a2…On可由向量组T2 B,B2,…B,线性表示,且线性无关, 则m≤n 推论若两个线性无关向量组等价,则它们 所包含的向量的个数相等
定理 1 2 2 2 1 : , , , : , , , m n T T T 1 1 若向量组 可由向量组 线性表示，则 线性相关。 推论 1 2 2 2 1 : , , , : , , , . m n T T T m n 1 1 若向量组 可由向量组 线性表示，且 线性无关， 则 推论 若两个线性无关向量组等价，则它们 所包含的向量的个数相等
第四节n维向量空间 、向量空间的概念 定义设V是n维向量构成的非空集合,且满足 (1)对∨a,B∈V,有a+B∈V, (2)对∨a∈V,任意数k有ka∈V, 那么就称集合V是一个向量空间 二、子空间 定义设,2都是向量空间,若V1∈H2, 则称v是V2的子空间
定义 设 V 是 n 维向量构成的非空集合，且满足 第四节 n 维向量空间 一、向量空间的概念 (1) , , (2) V V V k k V 对 有 ＋ ， 对 ，任意数 有 ， 那么就称集合 V 是一个向量空间． 定义 二、子空间 . 则称V1是V2的子空间 , , , 设V1 V2都是向量空间 若V1 V2
、向量空间的基与维数 定义9设v是一个向量空间, 若r个向量a1,a2,…,an∈v,满足 (1)a1,a2,…,a,线性无关; (2)J中任一向量都可由a1,a2,…,a,线性表示 则称向量组a1,…,cx是的一个基 称为的维数, 并称V为r维向量空间
设V是一个向量空间, (2) , , , . V中任一向量都可由1 2 r线性表示 三、向量空间的基与维数 (1) , , , ; 1 2 r线性无关 定义9 若r个向量1 ,2 , ,r V,满足 , , , 则称向量组1 r是V的一个基 r称为V的维数, 并称V为r维向量空间
四、向量在基下的坐标 定义10设a1,a2,…,an是m维向量空间W的一组基 对B∈V,有 B=xa1+x2O2+…+ x d 那么组合系数x,x2,…,x构成的向量 xn)称为在基a1,a2…,an 下的坐标。 向量空间V的基确定之后,V中向量在该基下的坐标 是唯一的
四、向量在基下的坐标 定义10 1 2 , , , 设 m 是m V 维向量空间 的一组基 对 V，有 1 1 2 2 m m = + + + x x x 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , m m m x x x x x x T 那么组合系数 构成的向量 （ ）称为 在基 下的坐标。 向量空间V 的基确定之后，V 中向量在该基下的坐标 是唯一的
五、基变换公式与过渡矩阵 设a1,a2…,an及B,月2,…,B,是线性空间n的 两个基且有 B1=P1a1+p22+…+Pn1n B2= Pu2a,+P22a2+. .+Pna B,=puna,+p 2 nn n 称此公式为基变换公式
两个基 且 有 设 及 是线性空间 的 , , , , , , , 1 2 n 1 2 n Vn , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n p p p p p p p p p 称此公式为基变换公式． 五、基变换公式与过渡矩阵