定理2的三个推论: 推论1设A为n阶方阵,则的列向量组线性相关的 充要条件是舶的行列式等于零 推论2当m≥时,m个n维向量组成的向量组a1, 定线性相关 推论3 设有两个向量组, C J 2 3°r+1J 若向量组T线性无关,则向量组T也线性无关; 若向量组T线性相关,则向量组7也线性相关
定理2的三个推论： 推论1 A n A A 设 为 阶方阵，则 的列向量组线性相关的 充要条件是 的行列式等于零。 推论2 2 , , , m m n m n 当 时， 个 维向量组成的向量组 1 一定线性相关。 推论3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 : ( , , , ) ,( 1,2, , ) : ( , , , , , , ) ,( 1,2, , ) T j j j rj T j j j rj r j nj T a a a j m T a a a a a j m T T T T + = = = = 设有两个向量组, 若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关； 若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关
第三节向量组的秩 向量组等价的概念 定义设有两个向量组 A:a1a2,…,am与B:B1,B2,…,Bn 若向量组B中的向量均可由向量组A线性表示, 则称向量组B可由向量组A线性表示; 若向量组A与向量组B可以相互线性表示, 则称向量组A与向量组B等价 性质:反身性、对称性、传递性
定义 设有两个向量组 A: 1 , 2 , , m : , , , . 与 B 1 2 n 若向量组B中的向量均可由向量组A线性表示, 则称向量组B可由向量组A线性表示； 若向量组A与向量组B可以相互线性表示, 则称向量组A与向量组B等价. 第三节 向量组的秩 性质：反身性、对称性、传递性 一、向量组等价的概念
二、向量组最大线性无关组与向量组的秩 定义设有向量组4:a;,如果在向量组中存在个向量 1902 rg 满足 (1)向量组4:a1,a2,…,a,线性无关 (2)向量组4中任意+1(若有个向量线性相关 则称向量组4是向量组4的一个最大线性无关组 (简称最大无关组 定义向量组4中所含向量的个数称为向量组的秩 向量组4:a1,a2,…,am的秩记作R(a1,a2…,am),R(A 只含0向量的向量组的秩规定为0
: , 定义 设有向量组A i (1) : , , , ; 向量组A0 1 2 r线性无关 (2)向量组A中任意r + 1(若有)个向量线性相关; . 向量组A0中所含向量的个数r称为向量组的秩 则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关组 : , , , ( , , , ), ( ). 向量组A a1 a2 am的秩记作R a1 a2 am R A 二、 向量组最大线性无关组与向量组的秩 只含0向量的向量组的秩规定为0. 如果在向量组A中存在r个向量 , , , , 1 2 r 满足 (简称最大无关组). 定义
、矩阵的秩与向量组的秩间的关系 定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 它的行向量组的秩 重要推论(最大无关组的求法) 若D是矩阵4的一个最高阶非零子式则: D所在的列即是列向量组的一个最大无关组, D所在的行即是行向量组的一个最大无关组
若D 是矩阵A的一个最高阶非零子式,则: r 重要推论(最大无关组的求法) Dr所在的r列即是列向量组的一个最大无关组， D 所在的r行即是行向量组的一个最大无关组. r 三、矩阵的秩与向量组的秩间的关系 . , 它的行向量组的秩 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于
四、一些重要结论 定理矩阵A经初等行变换化为矩阵B,则A与B 的任何对应的列向量构成的列向量组有 相同的线性组合关系 定理若向量组T可由向量组T2线性表示,则 向量组T的秩不超过向量组T2的秩。 推论等价向量组的秩相等 推论R(AB)≤mi{R(A),R(B
定理 若向量组T1可由向量组T2线性表示，则 向量组T1的秩不超过向量组T2的秩。 推论 推论 等价向量组的秩相等。 R AB R A R B ( ) min ( ), ( ) 四、一些重要结论 定理 矩阵A B A B 经初等行变换化为矩阵 ，则 与 的任何对应的列向量构成的列向量组有 相同的线性组合关系