第六部分曲线积分与曲面积分第11页共40页 fydx+=dy+ xde fo [2 sin t(-v2 sin t)+(2-v2 cos t)2 cost+V2 costv2 sin t]dt 解2由于曲线L在xOy平面上的投影曲线为L1:2x2+y2=4,所以 I=fydx+=dy+xde fydx+(2-x)dy+x(-dx) f0-x)dx+(2-x)d) y2≤4 2×r×2 解3取S为曲线L在平面x+z=2上围成的半径是2圆盘,上侧为正。根据斯托克斯公式 得 fydx+=dy +xda =(0-1)dc+(0-1)dax+(0-1)dxdy 0+r)ds=-v2 dS 17.计算I=x2yhk+y2zdy+x2xc,其中L为z=x2+y2与x2+y2+z2=6的交 线,方向为从z轴的正向往负向看去是顺时针。 解1求解{x2+y2+2=6,得=2,所以L的方程为{2=2,其参数方程为 ≥0 y=√2snt,参数t从0变到2丌。因此 +y xd G2[2cos2t√2sn(-V2sn)+4sin21√2cost+0dt t )dt 11
第六部分 曲线积分与曲面积分 第 11 页 共 40 页 11 。 4 2 [2sin ( 2 sin ) (2 2 cos )2cos 2 cos 2 sin ] 2 0 = − = − + − + = + + t t t t t t dt I ydx zdy xdz L 解 2 由于曲线 L 在 xOy 平面上的投影曲线为 L1： 2 4 2 2 x + y = ，所以 2 2 2 4 2 。 ( 1 1) ( ) (2 ) (2 ) ( ) 2 4 2 2 1 1 = − = − = − − = − + − = + − + − = + + x + y L L L dxdy y x dx x dy ydx x dy x dx I ydx zdy xdz 解 3 取 S 为曲线 L 在平面 x + z = 2 上围成的半径是 2 圆盘，上侧为正。根据斯托克斯公式 得 ) 2 4 2 。 2 1 0 2 1 ( (0 1) (0 1) (0 1) = − + + = − = − = − + − + − = + + S S S L dS dS dydz dzdx dxdy I ydx zdy xdz 17．计算 = + + L I x ydx y zdy z xdz 2 2 2 ，其中 L 为 2 2 z = x + y 与 6 2 2 2 x + y + z = 的交 线，方向为从 z 轴的正向往负向看去是顺时针。 解 1 求解 + + = = + 0 6 2 2 2 2 2 z x y z z x y ，得 z = 2 ，所以 L 的方程为 + = = 2 2 2 2 x y z ，其参数方程为 = = = 2 2 sin 2 cos z y t x t ，参数 t 从 0 变到 2 。因此 。 = − = − + = − + + = + + 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 ( sin 2 4 2 sin cos ) [2cos 2 sin ( 2 sin ) 4sin 2 cos 0] t t t dt t t t t t dt I x ydx y zdy z xdz L
第六部分曲线积分与曲面积分第12页共40页 解2求解{x2+y2+2=6,得二=2,所以L的方程为 z=2 z≥0 取S: 上侧为正,根据斯托克斯公式,得 x+y2≤2 y=dy+:xdc =』(0-y2)d+(0-2)drx+(0-x2)dh ∫(x2+y2) d0l2r2rdr 18.计算/=5(y2-=2)+(2-x)+x2y2),其中L是用平面x+y+二=a 切立方体9={xy,=)≤x男,二≤)所得的切痕从ax轴正向看去为逆时针方向 解取S为平面x+y+2=a上由L围成的边长是y2a的正六边形,方向上。根据斯托 克斯公式,得 =fc )d+(x2-y2)c =(-2y-2)dh+(-2-2-2x)dzdx+(-2x-2y)dxd -2[(+2)+(2+x)+-(x+y)s 2√3ajdS=-2√a√6a2=-6√2a3 19.计算/=f(y2-2)x+(2=2-x2)h+(3x2-y2)d,其中L是平面x+y+z=2 与柱面x+计=1的交线,从二轴正向看去,L为逆时针方向。 解1记L1、L2、L3、L4分别为L在第一、第二、第三和第四卦限中的部分,则
第六部分 曲线积分与曲面积分 第 12 页 共 40 页 12 解 2 求解 + + = = + 0 6 2 2 2 2 2 z x y z z x y ，得 z = 2 ，所以 L 的方程为 + = = 2 2 2 2 x y z 。 取 + = 2 2 2 2 x y z S： ，上侧为正，根据斯托克斯公式，得 = − = − 。 = − = − + = − + − + − = + + + + 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 (0 ) (0 ) (0 ) 2 2 2 2 d r rdr x dxdy x y dxdy y dydz z dzdx x dxdy I x ydx y zdy z xdz x y x y S L 18．计算 = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ,其中 L 是用平面 x + y + z = a 3 2 切立方体 = (x, y,z) 0 x, y,z a 所得的切痕,从 ox 轴正向看去为逆时针方向. 解 取 S 为平面 x + y + z = a 3 2 上由 L 围成的边长是 a 2 2 的正六边形，方向向上。根据斯托 克斯公式，得 = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 6 2 6 2 3 。 ( )] 3 1 ( ) 3 1 ( ) 3 1 2 [ ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) a dS a a a y z z x x y dS y z dydz z x dzdx x y dxdy S S S = − = − = − = − + + + + + = − − + − − + − − 19．计算 = − + − + − L I (y z )dx (2z x )dy (3x y )dz 2 2 2 2 2 2 ，其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱面 x + y =1 的交线，从 z 轴正向看去， L 为逆时针方向。 解 1 记 L1、L2、L3、L4 分别为 L 在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，则
第六部分曲线积分与曲面积分第13页共40页 I=( dx+(2=2-x2)dhy+(3 JL(y +(5x x+(2=--x x+(2二 dy+(3 7 ∫k1+x)2+x2-27 ipx-2+(3-2)2-7x2y 解2记L为L在xOy平面上的投影,则的方程是+y=1,所以 )2]x+[2(2 =f2y2-(2-x-y)2-3x2x+2(2-x-y)2-4x2+y2 2』(6+x-y) dxdy(en公式) 解3取S为x+y+=2上由L围成的平面区域,上侧为正。根据斯托克斯公式,得 I=(2y-42)dyd=+(22-6x)d=dx+(-2x- y)dxdy 2 2』(6+x-y)dxd +y1 -12』 dxdy=-24 *+yl 解4根据斯托克斯公式,得 I=』(-2y-4-)dd+(2x-6x)dd+(-2x-2y)c
第六部分 曲线积分与曲面积分 第 13 页 共 40 页 13 + − + − + − + − + − + − + − + − + − = − + − + − = − + − + − 4 3 2 1 ( ) (2 ) (3 ) ( ) (2 ) (3 ) ( ) (2 ) (3 ) ( ) (2 ) (3 ) I ( ) (2 ) (3 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L L L L L y z dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz 3 24。 3 79 3 3 7 3( 1) (3 2 ) 7 (1 ) 27 3(1 ) (1 2 ) 7 (1 ) 3 1 0 2 2 2 0 1 2 2 1 0 2 2 2 0 1 2 2 = − − + = − + − + − − + + + − + + + − − = − + − − − x x x dx x x dx x x x dx x x dx 解 2 记 L 为 L 在 xOy 平面上的投影，则 L 的方程是 x + y =1 ，所以 = − − − + − − − L I [y (2 x y) ]dx [2(2 x y) x ]dy 2 2 2 2 。 （ 公式） 24 2 (6 ) [2 (2 ) 3 ] [2(2 ) 4 ] [3 ]( ) Green 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − + − = − − − − + − − − + + − − − x + y L x y dxdy y x y x dx x y x y dy x y dx dy 解 3 取 S 为 x + y + z = 2 上由 L 围成的平面区域，上侧为正。根据斯托克斯公式，得 12 24。 2 (6 ) (4 2 3 ) 3 2 I ( 2 4 ) (2 6 ) ( 2 2 ) 1 1 = − = − = − + − = − + + = − − + − + − − + + x y x y S S dxdy x y dxdy x y z dS y z dydz z x dzdx x y dxdy 解 4 根据斯托克斯公式，得 = − − + − + − − S I ( 2y 4z)dydz (2z 6x)dzdx ( 2x 2y)dxdy
第六部分曲线积分与曲面积分第14页共40页 ∫(y+2-)dhdz S =j(y+2)d(Dy=是在y-=平面上的投影 (3-=)/2 =在j(+2)(化二重积分为二次积分) (1-=)/2 8 (二+3x)dz =』(二+3x)dx(Dx是S在x-平面上的投影) )/2 Rd∫(=+3xx (1-=)/2 ∫(x+y) dxdy J(x+ y)dxdy 0。(对称性、奇偶性) 所以 20.已知曲线积分 I=J(x +b= )dx+( by)dz 与路径无关,求a,b的值,并求从A(0,0,0)到B(1,1,1)的积分值。 解因为函数 X(x,y,==xz+ay+bz Y(x,,=) Z(x,y, 2)=y+ax+ by 都在整个空间上具有连续偏导数,所以Ⅰ=∫X(x,y,-)+Y(x,y,)+Z(x,y,z)c与路 径无关的充要条件是
第六部分 曲线积分与曲面积分 第 14 页 共 40 页 14 而 ； 化二重积分为二次积分） 是 在 平面上的投影 8 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 1 (3 )/ 2 (1 )/ 2 ( ) = = + = + + − − − z z S y z Dyz D S dz y z dy y z dydz y z dydz yz ； 是 在 平面上的投影 4 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 3 1 (3 )/ 2 (1 )/ 2 ( ) = = + = + + − − − z z S x z Dxz D S dz z x dx z x dzdx z x dzdx xz 0 。（对称性、奇偶性） ( ) ( ) 1 = = + + x + y S x y dxdy x y dxdy 所以 I = -2 (8 + 4 + 0) = -24。 20．已知曲线积分 = + + + + + + + + L I (x z ay bz )dx (x y az bx )dy (yz ax by )dz 2 2 2 2 2 2 与路径无关，求 a,b 的值，并求从 A(0,0,0) 到 B(1,1,1) 的积分值。 解 因为函数 2 2 2 2 2 2 ( , , ) ( , , ) , ( , , ) , Z x y z yz ax by Y x y z xy az bx X x y z xz ay bz = + + = + + = + + 都在整个空间上具有连续偏导数，所以 = + + L I X(x, y,z)dx Y(x, y,z)dy Z(x, y,z)dz 与路 径无关的充要条件是 y X x Y x Z z X z Y y Z = = = , , ， 即