清华大学：《微积分》课程教学资源_习题集 第六部分 曲线积分与曲面积分

第六部分曲线积分与曲面积分第6页共40页 I=fy xdy-x ydx ∫y2-(-x2)x a丌 10.计算=∫(2xy+e)x-(cosy-xe"),其中L从点(-1)沿曲线y=x2到点 (0,0),再沿直线y=0到点(2,0)。 解1设L1从点(-1)沿曲线y=x2到点(00);L2从点(00)沿直线y=0到点(2,0)。则 I=J(12xy+e )dx-(cos y-xe )dy+j(12xy+e")dx-(cos y-xe")dy L L, =(1012x3+e2)-(cosx2-xc2)2xhx+a sin S(e +2x e )dx+sin 1-1 由于2￥e=xb-2,所以e2+2)hk=e,从而 e 解2设L1从点(-2,0)沿直线x=2到点(2,1);L2从点(2,1)沿直线y=1到点(-1),L与 L1和L2围成的区域记为D。根据格林公式得 =∫(12xy+e)dx-(c L+L+L2 J(12xy+e )dx-(cos y-xe")dy L y (e'-12x-e)dxdy+S(cos y-2e"dy -52(12x+e)d 21+(sn1+2-2e)-(-3e-18) 计算=r(x-y)dtx+(x+y) ,其中L是曲线y=x2-2从点A(-2,2)到点B(2,2) 的一段 解1记X(x,y)=3,Y(x,y)=+,,当(xy)≠(0)时,有

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 6 页 共 40 页 6 0 2  0 2 4  。 2 2 2 2 2 1 [ ( )] 2 2 2 d r rdr a y x dxdy I y xdy x ydx a x y a L = −  = − = −  − − =  − +  10．计算 =  + − − L y y I (12xy e )dx (cos y xe )dy ，其中 L 从点 (−1,1) 沿曲线 2 y = x 到点 (0,0) ，再沿直线 y = 0 到点 (2,0) 。 解 1 设 L1 从点 (−1,1) 沿曲线 2 y = x 到点 (0,0) ； L2 从点 (0,0) 沿直线 y = 0 到点 (2,0) 。则 ( 2 ) sin 1 1， ( 2 ) sin 1 1 [(12 ) (cos )2 ] (12 ) (cos ) (12 ) (cos ) 1 0 2 0 1 2 2 0 0 1 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 =  + + − =  + + − =  + − − +  =  + − − +  + − − − − e x e dx e x e dx x e x x e x dx dx I x y e dx y x e dy x y e dx y x e dy x x x x x x L y y L y y 由于  = −  1 0 1 0 1 0 2 2 2 2 2x e dx xe e dx x x x ，所以 e x e dx e x x  + = 1 0 2 ( 2 ) 2 2 ，从而 I = sin1+ e −1。 解 2 设 L1 从点 (−2,0) 沿直线 x = 2 到点 (2,1) ； L2 从点 (2,1) 沿直线 y = 1 到点 (−1,1) ，L 与 L1 和 L2 围成的区域记为 D 。根据格林公式得 21 (sin 1 2 2 ) ( 3 18) sin 1 1。 ( 12 ) (cos 2 ) (12 ) (12 ) (cos ) (12 ) (cos ) (12 ) (cos ) 1 2 1 0 2 1 1 2 = − + + − − − − = + − =  − − +  − −  + −  + − − −  + − − =  + − − − + + e e e e x e dxdy y e dy x e dx x y e dx y x e dy x y e dx y x e dy I x y e dx y x e dy y D y y L y y L y y L L L y y 11．计算  + − + + = L x y x y dx x y dy I 2 2 ( ) ( ) ，其中 L 是曲线 2 2 y = x − 从点 A(−2,2) 到点 B(2,2) 的一段。 解 1 记 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y x y Y x y x y x y X x y + + = + − = ，当 (x, y)  (0,0) 时，有

第六部分曲线积分与曲面积分第7页共40页 ar(x,y) xy 令L1是折线段A(-2,2)→C(-2,-2)→D(2.-2)→B(2,2),则根据格林公式易知 (x-y)dx+(x+y (x-y)dx+(x+ y)dy x x+2 d+上2 d+12 2+ydy 解2令L1是直线段A-22)→B(2,2),L2是圆周x2+y2=r2,r足够小。由于当 (x,y)≠(0,0)时,有 xy (x2+y2) 所以根据格林公式得 /=((r-y)dx+(x+y)dy (x-y)dx +(x+ y)dy +/(x-ydx +(x+ydy L2 dx+o(x-y)dx+(x+y)dy +2丌=-丌。 设在全个面内有连峡的一阶偏学数,且满2a,C 为包围原点的正向简单闭曲线,计算I=5 (xv- yu )dx+(xu+y 解记l=fX(x,y)+Y(x,y)h,其中X(x,y)=-厘,Y(x,y)=x+。由于

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 7 页 共 40 页 7 y X x y x y y x xy x Y x y   = + − − =   ( , ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 。 令 L1 是折线段 A(−2,2) → C(−2,−2) → D(2,−2) → B(2,2) ，则根据格林公式易知  + − + + =  + − + + = 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) L L x y x y dx x y dy x y x y dx x y dy I  。 2 3 4 1 6 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  = + =  + +  + + +  + + − + = − − − − dy y dy y y dx x x dy y y 解 2 令 L1 是直线段 A(−2,2) → B(2,2)， L2 是圆周 2 2 2 x + y = r ，r 足够小。由于当 (x, y)  (0,0) 时，有         + −   = + − − =         + +   2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y x y x y y y x x y x y x y x ， 所以根据格林公式得   。  2 3 2 2 ( ) ( ) 1 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + =  +  − + + + − =  + − + +  + + − + + =  + − + + = − L L L L x y dx x y dy r dx x x x y x y dx x y dy x y x y dx x y dy x y x y dx x y dy I 12．设 u(x, y), v(x, y) 在全平面内有连续的一阶偏导数，且满足 x v y u y v x u   = −     =   , ，记 C 为包围原点的正向简单闭曲线，计算  + − + + = C x y xv yu dx xu yv dy I 2 2 ( ) ( ) 。 解 记 =  + C I X (x, y)dx Y(x, y)dy ，其中 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y x u yv Y x y x y xv yu X x y + + = + − = 。由于

第六部分曲线积分与曲面积分第8页共40页 ax(x,y)(xvy-yuy -u(x+y)-2yxv- yu) MYj +(y )u-2xy (x2+y2)2 aY(x,y)(xux+yx(x+y)+y-x )u-2xyn 且2=vy,u2=-,,所以当x2+y2≠0时 aX(x,y) ar(x, y) 任取r>0充分小,记C为圆周x2+y2=r2,并取逆时针方向,根据格林公式可知 a-c X(x, y)dx+Y(x, y)dy=0, MI=fc X(x, y)dx+Y(x,y)dy x=rcos 令C 6:0 rsin 0 =h -Icos, y-rsin e.u)-(sin 0)r+(rcos 0. u+r sin 0v)rcoselde =2 u(rcos t, rsin 0)d=2m(rcos5,rsn2.0≤5≤2z 由于与r的值无关,令r→>0,得=2l(00) 13.计算I=∫ ey cos x-qyd+esnx-b(x+y)],其中L为4x2+9y2=36在第 一象限中的部分,方向为从点(3,0)到(0,2)。 解1由于曲线积分l1=∫e’cosx-bylx+le'sinx-b(x+y)h与路径无关,所以 11=5cos xdx+o(-by)dy=-sin 3-2b 又y=原2smt:(-3mh=3,所以 1 )∫yat=r(a-b)-2b 解2取L1是从点(0,2)经点0)到点(30),根据格林公式,得

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 8 页 共 40 页 8 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) 2 ( ) ( , ) x y x v yu u x y y x v yu y X x y y y + − − + − − =   2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 x y x v yu x y y x u xyv y y + − + + − − = ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) ( )( ) ( ) 2 x y x u yv x y y x u xyv x Y x y x x + + + + − − =   ， 且 x y y x u = v ,u = −v ，所以当 0 2 2 x + y  时， x Y x y y X x y   =   ( , ) ( , ) 。 任取 r  0 充分小，记 Cr 为圆周 2 2 2 x + y = r ，并取逆时针方向，根据格林公式可知，  ( , ) + ( , ) = 0 C−Cr X x y dx Y x y dy ，故 =  + Cr I X(x, y)dx Y(x, y)dy 。 令 Cr ：     , 0 2 sin cos →    = = ： y r x r ，则  =  −   − +  +          2 0 2 [ cos sin ) ( sin ) ( cos sin ) cos ] 1 r v r u r r u r v r d r I =  =            2 0 u(r cos ,rsin )d 2 u(r cos ,rsin ), 0 2 。 由于 I 与 r 的值无关，令 → + r 0 ，得 I = 2 u(0,0) 。 13．计算 =  − + − + L y y I [e cos x ay]dx [e sin x b(x y)]dy ，其中 L 为 4 9 36 2 2 x + y = 在第 一象限中的部分，方向为从点 (3,0) 到 (0,2) 。 解 1 由于曲线积分 =  − + − + L y y I [e cos x by]dx [e sin x b(x y)]dy 1 与路径无关，所以 I cos xdx ( by)dy sin 3 2b 2 0 0 1 3 =  +  − = − − 。 又   2 3 2 2sin ( 3sin ) 0  ydx =  t − t dt = − L ，所以 ( ) 2 sin 3 2 3 ( ) I = I1 + b − a  ydx = a − b − b − L  。 解 2 取 L1 是从点 (0,2) 经点 (0,0) 到点 (3,0) ，根据格林公式，得

第六部分曲线积分与曲面积分第9页共40页 i= [e cos x-ay]dx +[esin x-b(x+ y)]dy J[e cos x- ay ]dx +[esin x-b(x+ y)]dy J(a-b)drdy-52Gby )dy-focosxdx 3×2m(a-b)-2b-sn3 b)-2b-sin 3 14.设L是右半平面(x>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d)。证明曲 线积分1=口+x2sm(xy)l+[x2sm(xy)-1tx与路径无关,并求/的值。 解1因为 +x sin( xy)=sn( xy)-+xycos(xy) in( xy)-1 在右半平面内处处成立,所以曲线积分在右半平面内与路径无关。 取L为从点(a,b)经过点(c,b)到点(c,d)的折线段,得 [+ y Lx sin( xy)-ldx Sa5[x sin( bx)-1]dx+ -[l+c sin( cy )]dy cos(bx)la+[ s(cy) db+cos(ab)-cos(cd)。 解2因为 -[+xsin( xy)]dy+[ sin( xy)-l]dx dh sin( xy)d(xy)+d(-) dL-cos(xy)

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 9 页 共 40 页 9 ( ) 2 sin 3。 2 3 3 2 ( ) 2 sin 3 4 1 ( ) ( ) cos [ cos ] [ sin ( )] [ cos ] [ sin ( )] 3 0 0 2 1 1 = − − − =   − − − =  − −  − −  −  − + − + =  − + − + + a b b a b b a b dxdy by dy xdx e x ay dx e x b x y dy I e x ay dx e x b x y dy D L y y L L y y   14．设 L 是右半平面 (x  0) 内的有向分段光滑曲线，起点为 (a,b) ，终点为 (c, d ) 。证明曲 线积分 =  + + − L x x y dx x y x x y dy x I [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 与路径无关，并求 I 的值。 解 1 因为           −   = − + =       +   cos( ) sin( ) 1 1 1 sin( ) sin( ) 1 2 2 2 2 x x y x y y x y x y x x x y x y x x 在右半平面内处处成立，所以曲线积分 I 在右半平面内与路径无关。 取 L 为从点 (a,b) 经过点 (c,b) 到点 (c, d ) 的折线段，得 cos( ) cos( )。 [ cos( )] [ cos( )] [1 sin( )] 1 [ sin( ) 1] [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 2 2 2 ab cd a b c d cy c y bx x b c cy dy c x bx dx x b x x y dx x y x x y dy x I d b c a d b c a L = − + − = − + − =  − +  + =  + + − 解 2 因为 [ cos( )]， sin( ) ( ) ( ) sin( )( ) [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 2 x y x y d x y x y d x y d x xdy ydx x y y dx xdy x x y dx x y x x y dy x = − = + − = + + + + −

第六部分曲线积分与曲面积分第10页共40页 所以y-cos(xy)是-u+x2sn(xyh+[x2sn(xy)-1]在右半平面上的一个原函 x 数,所以曲线积分在右半平面内与路径无关,且 1=+x2s0x)+}1x2sn -cos(xy)(. b) d b +cos(ab)-cos(cd)。 1.计算/=y-(x2+y2+2),L是曲线x+y2=1 在第一卦限中的部分,从点 (0,1,4)到点(1,0,6) X=d 解1取L的参数方程为 ,参数x从0变到1,则 =2x+4 =∫yax-(x2+y2+2)d L V1-x2-(1+(2x+4)2)2yhx 00π-4π4 8 16-3 158 16.计算=f++xd,其中L是球面x2+y2+x2=42与平面x+z=2的交 线,从z轴正向看去为逆时针方向。 解1曲线L在XO平面上的投影的方程为2x2+y2=4,这是一个椭圆。取L的参数方 程为 x=√2cost 2-√2cos 参数t从0到2丌,从而

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 10 页 共 40 页 10 所以 cos(xy) x y − 是 x xy dx x y x xy dy x [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 + + − 在右半平面上的一个原函 数，所以曲线积分 I 在右半平面内与路径无关，且 cos( ) cos( )。 [ cos( )] [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 ab cd a b c d x y x y x x y dx x y x x y dy x I c d a b L = − + − = − =  + + − 15．计算 =  − + + L I ydx (x y z )dz 2 2 2 , L 是曲线    = + + = 2 4 1 2 2 z x x y 在第一卦限中的部分,从点 (0,1,4) 到点 (1,0,6). 解 1 取 L 的参数方程为      = + = − = 2 4 1 2 z x y x x x ，参数 x 从 0 变到 1 ，则 。 3 158 4 16 32 3 8 2 4 [ 1 (1 (2 4) )2] ( ) 1 0 2 2 2 2 2 = − = − − − − =  − − + + =  − + +   x x dx I ydx x y z dz L 16． 计算 =  + + L I ydx zdy xdz ，其中 L 是球面 x y z 4z 2 2 2 + + = 与平面 x + z = 2 的交 线，从 z 轴正向看去为逆时针方向。 解 1 曲线 L 在 xOy 平面上的投影的方程为 2 4 2 2 x + y = ，这是一个椭圆。取 L 的参数方 程为      = − = = 2 2 cos , 2sin , 2 cos , z t y t x t 参数 t 从 0 到 2 ，从而