复变函数 分析:za是f(z)的m级极点,由于m可能大于2,故 用一般方法。 (z-a)"(z-b)(-a)-a+a-b 2-c (a-b)1+ a-b (z-a)"(a-b) ∑(-1 b ∑(-1) n-m 2-C n=0 (a-b)
分析：z=a是f(z)的m级极点，由于m可能大于2，故 用一般方法。 0 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) m m m n n m n n n m n n z a z b z a z a a b z a z a a b a b z a z a a b a b z a a b = − + = = − − − − + − = − − − + − − = − − − − = − − −
复变函数 n-m=-1→n=m+1,n+1=m → Res f(z)= (-1) Z=a (a-b)”(b-a) Res f(z) Z=b (b-a) (二)在无穷远点时 1、当无穷远点为f(z)的至少二级零点时,残数为0; 2. Res f(z)=-Res f t=0
1 1 1, 1 ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) m m m Z a m Z b n m n m n m Res f z a b b a Res f z b a − = = − = − = + + = − − = = − − = − （二）在无穷远点时 1、当无穷远点为f(z)的至少二级零点时，残数为0； 2 0 1 1 2. Re ( ) Re z t s f z s f t t = = = −
复变函数 3、一般方法②,即求函数在无穷远点的罗朗展式 的z的-1次幂项的系数的相反数。 例求下列函数在指定点处的残数(其中m为正整数) (1)f(z)= 2-1(2+1)2,2=0 1+ →ReSf(z)=0
3、一般方法②，即求函数在无穷远点的罗朗展式 的z的-1次幂项的系数的相反数。 例 求下列函数在指定点处的残数(其中m为正整数) 2 (1) ( ) , ( 1)( 1) z f z z z z = = − + 3 2 1 ( ) 1 1 1 1 Re ( ) 0 z z f z z z z s f z = = − + =
复变函数1 2)=e2-,z=0 由于无穷远点为可去奇点时,残数未必为0,但是此 时求(z)在无穷远点处的罗朗展式并不好求,因此不 好用一般方法②;若用替换的方法,将求无穷远点处 的残数转化为求z=0处的残数,同样不好求,考虑别 的方法,待求 (3)f(z)=z"sin-,z=0 待求 (4) (b…(-b)=o(a≠b)
1 1 (2) ( ) , z f z e z − = = 由于无穷远点为可去奇点时，残数未必为0，但是此 时求f(z)在无穷远点处的罗朗展式并不好求，因此不 好用一般方法②；若用替换的方法，将求无穷远点处 的残数转化为求z=0处的残数，同样不好求，考虑别 的方法，待求。 1 (3) ( ) sin , m f z z z z = = 待求 1 (4) , ( ) ( ) ( ) m z a b z a z b = − −
复变函数 f(=)= b →Resf(z)=0 (三)残数和定理 若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包 括无穷远点在内),则函数在各点的残数总和为零。 例(2)f(z)=e 2三0 f(z)仅有z=1及无穷远点两个孤立奇点,相对而言, z=1处的残数较无穷远点处的残数好求,故
1 1 1 ( ) 1 1 Re ( ) 0 m m z f z z a b z z s f z + = = − − = （三）残数和定理 若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包 括无穷远点在内)，则函数在各点的残数总和为零。 例 （2） 1 1 ( ) , z f z e z − = = f(z)仅有z=1及无穷远点两个孤立奇点，相对而言， z=1处的残数较无穷远点处的残数好求，故