经济数学基础 第9章随机事件与概率 第七单元事件的独立性 学习目标 通过本节课的学习,理解事件独立性的概念,会用公式判别或根据实际判断 事件是否独立. 内容讲解 引例:某检修工人负责甲,乙两个车间机器的检修.已知甲车间机器需要检修 的概率是0.2,乙车间机器需要检修的概率是0.15,求检修工人空闲的概率. 解:设A={甲车间不需要检修},B={乙车间不需要检修},所求为P(AB) 由概率乘法公式P(AB)=P(P(B4) 若事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B) 称事件A,B相互独立.则有 P(BLA)=P(B) P(A|B)=P(4) 反之,有P(AB)=P(A)P(B)→A与B独立 解引例:因为A与B独立, 所以P(AB=P(4)P(B=(1-0.2)(1-0.15)=0.68 关于事件的独立性有结论 若四对事件A,B:A,B;A,B:A,B中有一对独立,则另外三对也独立 即这四对事件或者都独立,或者都不独立) 为判断事件的独立性提供了方便 问题:若事件A与B满足AB=②,那么事件A与B独立吗? 一般不对立.AB=⑧,表明事件A与B互不相容.一般地,互不相容的两事件不会独 269
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——269—— 第七单元 事件的独立性 一、学习目标 通过本节课的学习，理解事件独立性的概念，会用公式判别或根据实际判断. 事件是否独立. 二、内容讲解 引例：某检修工人负责甲，乙两个车间机器的检修. 已知甲车间机器需要检修 的概率是 0.2，乙车间机器需要检修的概率是 0.15，求检修工人空闲的概率. 解：设 A＝{甲车间不需要检修}，B＝{乙车间不需要检修}，所求为 P（AB）. 由概率乘法公式 P（AB）＝ P(A)P(B A) 若事件 A，B 满足 P（AB）＝P（A）P（B） 称事件 A，B 相互独立. 则有 P(BA)＝P(B) P(AB)＝P(A) 反之，有 P(AB)＝P(A)P(B) A 与 B 独立. 解引例:因为 A 与 B 独立， 所以 P(AB)=P(A)P(B)=(1－0.2)(1-0.15)=0.68 关于事件的独立性有结论： 若四对事件 A，B；A，B ； A ，B； A ， B 中有一对独立，则另外三对也独立 (即这四对事件或者都独立，或者都不独立). 为判断事件的独立性提供了方便. 问题: 若事件 A 与 B 满足 AB＝，那么事件 A 与 B 独立吗？ 一般不对立. AB＝，表明事件 A 与 B 互不相容. 一般地，互不相容的两事件不会独 立
经济数学基础 第9章随机事件与概率 (1)当A≠②,B≠时,A与B独立,有P(AB)=P(A)P(B) 不可能得到AB=②.反之,若A≠,B≠0时,AB=②,则有P(AB)=0,那么就不可能有 P(ABP(A)P(B) (2)必然事件U与任何事件独立,因为任意事件A,有P(UA)=P(U)P(A) (3)不可能事件与任何事件独立,因为任意事件A,有P(②A)=P(②)P(A). 三、例题讲解 例1某项招生考试时,需通过三项考核,三项考核的通过率分别为0.6,0. 0.85.求招生考试的淘汰率 解:设A={通过第一项考核} B={通过第二项考核}, C={通过第三项考核}, 被录取为ABC,被淘汰为ABC 所求为P(BC)=1-P(4BC 1-P(A)P(B)P(C) 1-0.6×0.8×0.85=0.592 四、课堂练习 练习1某电台有若干台发射机,每台发射机都独立地运行,正常工作的概率 都是0.8.问电台至少需要几台发射机才能保证正常工作的概率达到99%以上 根据所设,所求为PA)>0.9.至少有一台发射机正常工作,则电台才能正常工作,故是 一个和事件的概率,用摩根律可以将和事件转化成积事件,利用事件的独立性,就可以求得结 果.只要有一台发射机正常工作,则电台就能正常工作 270—
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——270—— (1) 当 A，B时，A 与 B 独立，有 P(AB)＝P(A)P(B)， 不可能得到 AB＝. 反之，若 A，B时，AB＝，则有 P(AB)=0，那么就不可能有 P(AB)=P(A)P(B). (2) 必然事件 U 与任何事件独立，因为任意事件 A，有 P(UA)=P(U)P(A). (3) 不可能事件与任何事件独立，因为任意事件 A，有 P(A)=P()P(A). 三、例题讲解 例 1 某项招生考试时，需通过三项考核，三项考核的通过率分别为 0.6，0.8， 0.85.求招生考试的淘汰率. 解：设 A＝{通过第一项考核}， B＝{通过第二项考核}， C＝{通过第三项考核}, 被录取为 ABC，被淘汰为 ABC ， 所求为 P(ABC) =1− P(ABC) =1− P(A)P(B)P(C) ＝1－0.6×0.8×0.85=0.592 四、课堂练习 练习 1 某电台有若干台发射机， 每台发射机都独立地运行，正常工作的概率 都是 0.8. 问电台至少需要几台发射机才能保证正常工作的概率达到 99％以上. 根据所设，所求为 P(A)>0.99. 至少有一台发射机正常工作，则电台才能正常工作，故是 一个和事件的概率，用摩根律可以将和事件转化成积事件，利用事件的独立性，就可以求得结 果. 只要有一台发射机正常工作，则电台就能正常工作
经济数学基础 第9章随机事件与概率 设有n台发射机,A={电台正常工作},又设Ak={第k台发射机正常工作},k=1,2,…,n.根 据事件的和之定义,A+A2+…+A表示至少有一台发射机正常工作,则A发生,故P(A=P(A+A+… +A) 五、课后作业 1.用三台机床制造一部机器的三种零件,机床的不合格品率分别为0.2,0.3, 0.1,从它们的产品中各任取一件进行检验,求所取三个产品都是不合格品的概 2.加工某种零件需要经过4道工序.假设第1,2,3,4道工序出不合格品的 概率分别是2%,4%,5%,3%.假设各道工序是互不影响的,求加工的零件是合格品的 概率. 3.一个工人看管三台机床,在一小时内不需要工人照管的概率:第一台为 0.9,第二台为0.8,第三台为0.7,求在一小时内, (1)三台机床都不需要工人照管的概率 (2)三台机床中至多有一台需要工人照管的概率. 4.甲、乙二人独立地射击同一个目标,命中的概率分别为0.9和0.8.现在 每人射击一次,求下列事件的概率: (1)二人都命中; (2)甲命中而乙未命中; (3)目标被击中; (4)只有一人命中 5.证明:若P(A|B)=P(AB),则事件A与B独立 0.006 0.867 3.(1)0.504:;(2)0.902. 271
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——271—— 设有n台发射机，A＝{电台正常工作}，又设Ak＝{第k台发射机正常工作},k=1,2,…,n. 根 据事件的和之定义，A1+A2+…+An表示至少有一台发射机正常工作，则A发生，故P(A)= P(A1+A2+… +An). 五、课后作业 1. 用三台机床制造一部机器的三种零件，机床的不合格品率分别为 0.2，0.3， 0.1, 从它们的产品中各任取一件进行检验, 求所取三个产品都是不合格品的概 率. 2. 加工某种零件需要经过 4 道工序. 假设第 1，2，3，4 道工序出不合格品的 概率分别是 2%,4%,5%,3%. 假设各道工序是互不影响的，求加工的零件是合格品的 概率. 3. 一个工人看管三台机床，在一小时内不需要工人照管的概率： 第一台为 0.9，第二台为 0.8，第三台为 0.7，求在一小时内， (1) 三台机床都不需要工人照管的概率； (2)三台机床中至多有一台需要工人照管的概率. 4. 甲、乙二人独立地射击同一个目标， 命中的概率分别为 0.9 和 0.8. 现在 每人射击一次，求下列事件的概率： (1) 二人都命中； (2) 甲命中而乙未命中； (3) 目标被击中； (4) 只有一人命中. 5. 证明：若 P(AB)=P(A B)，则事件 A 与 B 独立. 1. 0.006． 2. 0.867． 3. (1) 0.504；(2) 0.902．
经济数学基础 第9章随机事件与概率 4.(1)0.72:(2)0.18:(3)0.98:(4)0.26 5.(略) 2
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——272—— 4. (1) 0.72； (2) 0.18； (3) 0.98； (4) 0.26． 5. (略)