复变画、数 第六章残数理论及其应用 基本概念 残数的定义 Res f(z f(z)dz 二=a≠ Rsf(-)=f()=ce1(:|=p>r)② 注意前提—仅在孤立奇点处,并且区分 有限点和无穷远点,因此,残数的计算也区分 有限点和无穷远点
一、基本概念 残数的定义 第六 章 残数理论及其应用 1 ( ) ( ) z a z a Res f z f z dz c − = − = = = ( ) ( ) : 1 ( ) z Res f z f z dz c z r − − = = = − = ① ② 注意前提——仅在孤立奇点处，并且区分 有限点和无穷远点，因此，残数的计算也区分 有限点和无穷远点
0复变函数 求残数的方法 (一)、在孤立奇点为有限点时 1、若a为可去奇点,则残数为0; 2、若a为本性奇点,或者a的类型不明确,则残数为 函数的罗朗展式中za的-1次幂项系数①(般方法); 3、若a为极点,先求极点的级数: 若为一级极点,则 Resf(z=lim(z-a)f(z) f(x)=0(2) 1)0(a)≠0,v(a)=0,v(a)≠0 →Ref(-=a 2=a y(a)
二、求残数的方法 （一）、在孤立奇点为有限点时 1、若a为可去奇点，则残数为0； 2、若a为本性奇点，或者a的类型不明确，则残数为 函数的罗朗展式中z-a的-1次幂项系数①(一般方法)； 3、若a为极点，先求极点的级数： 若为一级极点，则 1 ( ) lim( ) ( ) ( ) 2 ( ) , ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) o z a z a o z a Res f z z a f z z f z a a a z a Res f z a = → = = − = = =
复变函数 若为二级极点,则;Resf()=lim(x-a)2f(z) 2=a 2→a 若为n>2级极点,则 L(2-a)'f() (n-1) Res f(z) 2=a 1一 (这个公式涉及高阶导数公式,并不常用,而 更常用一般方法,即①)。 例求下列函数在指定点的残数(其中m为正整数) (1)f(=)= ±1 (二-1)(z+1) 23
若为二级极点，则； 2 ( ) lim ( ) ( ) z a z a Res f z z a f z = → = − 若为n>2级极点，则 （这个公式涉及高阶导数公式，并不常用，而 更常用一般方法，即①）。 1 ( 1) ( ) lim ( ) ( ) ( 1)! n n z a z a Res f z z a f z n − = → = − − 例 求下列函数在指定点的残数(其中m为正整数)： 2 (1) ( ) , 1 ( 1)( 1) z f z z z z = = − +
复变函数 Res f(=)=lim[(z-1f(=I 4 Res()=m[(=+1)(2) 4 (2)f(z)=e2-,z=1 f(=)=1+++…=1+ 12 z-12(z-1) →Resf(=)=1
1 1 2 1 1 1 ( ) lim ( 1) ( ) 4 1 ( ) lim ( 1) ( ) 4 z z z z Res f z z f z Res f z z f z = → = − → − = − = = + = − 1 1 (2) ( ) , 1 z f z e z − = = 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 2! 1 2!( 1) ( ) 1 z u u f z z z Res f z = = + + + = + + + − − =
0复变函数 (3)f()=z"sin-,z=0 z=0为本性奇点,用一般方法 0 m=2k+1 Resf(2)=1(-1y m=2k (2/+1 (4) z=a,2=b(a≠b) (z-a)"(z-b)
1 (3) ( ) sin , 0 m f z z z z = = z=0为本性奇点，用一般方法 0 0, 2 1 ( ) ( 1) , 2 (2 1)! k z m k Res f z m k k = = + = − = + 1 (4) , , ( ) ( ) ( ) m z a z b a b z a z b = = − −