1.曲线凹凸性的定义及其判别法 设f(x)∈C(I),A∈(0,1) 如果∨x1,x2∈I(x1≠x2),恒有 f(x1+(1-A)x2)>1f(x1)+(1-)f(x2) 成立,则称曲线y=f(x)在区间I上是凸的; 如果∨x1,x2∈I(x1≠x2)2恒有 f(x1+(1-A)x2)<f(x1)+(1-)f(x2) 成立,则称曲线y=f(x)在区间I上是凹的;
设 f (x)C( I), (0, 1). ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x 成立 , 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 上是凸的 ; , I ( ), 如果 x1 x2 x1 x2 恒有 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x 成立 , 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 上是凹的 ; , I ( ), 如果 x1 x2 x1 x2 恒有 1. 曲线凹凸性的定义及其判别法
例1 分析立方抛物线y=x3的凹凸性 分析f( 2)x3+3xx2+3xx2+ X+x ((x1)+f(x2)=+x2 2 在(-∞,0)上,、+x2)<(x)+f(x2), y=x3是凸的 在(0,+0)上,f(,)>(f(x)+f(x2) y=x3是凹的
. 分析立方抛物线 y = x3 的凹凸性 = + ) 2 ( 1 2 x x f 8 3 3 32 2 2 1 2 21 31 x + x x + x x + x 2 ( ( ) ( )) 21 32 31 1 2 x x f x f x + + = 在 (−, 0) 上, ( ( ) ( ) ), 21 ) 2 ( 1 2 1 2 f x f x x x f + + . y = x3 是凸的 在 (0, + ) 上, ( ( ) ( ) ), 21 ) 2 ( 1 2 1 2 f x f x x x f + + . y = x3 是凹的 例1 分析
在(-∞,0)上 x3是凸的 此时y”<0 y=x 在(0,+∞)上 y=x3是凹的 此时y>0 =0时 0 y=3x 6x 点(0,0)是曲线凹凸性的分界点 有何体会?
O x y 3 y = x 在 (−, 0) 上, , y = x 3 是凸的 3 , 2 y = x y = 6x , 此时 y 0. 在 (0, + ) 上, , y = x 3 是凹的 此时 y 0. x = 0 时, y = 0 , 点(0, 0) 是曲线凹凸性的分界点. 有何体会？
能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凸凹性呢?
能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凸凹性呢？
判别可微函数的凸凹性主要是对 (f(x)+f(x2)) ( 泰第 进行比较 公 有什么公式能把以上的函数值与函数的 二阶导数联系在一起呢?
判别可微函数的凸凹性主要是对 ( ( ) ( )) 2 1 1 2 f x + f x ) 2 ( 1 2 x x f + 进行比较. 有什么公式能把以上的函数值与函数的 二阶导数联系在一起呢?