设f(x)∈C([a,b]),在(a,b)内有二阶导数 x2∈(a,b),令 x1+x2_x1 X1 2 2 X+x Do 2 2 n -X 由泰勒公式f(x)=f(x)+f(xx-x)+”()(x-x)2 2 A f(x,)=f(o)+f(ro(x-x)f"(Ey(x-xo 2 f(x2)=f(x)+f(x0)(x2-x)+2(x2-x)2 2!
设 f (x)C([a, b]), 在(a, b)内有二阶导数. , ( , ), x1 x2 a b 令 , 则 2 1 2 0 x x x + = 2 2 1 2 1 2 1 0 1 x x x x x x x − = + − = − 2 2 1 2 2 1 2 0 2 x x x x x x x − = + − = − ( ) 2 0 1 0 x − x = − x − x 2 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x f x f x x x − = + − + 由泰勒公式 2 1 0 1 1 0 0 1 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x f x f x x x − = + − + 有 2 2 0 2 2 0 0 2 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f f x f x f x x x − = + − +
其中,5在x与x1之间,2在x与x2之间 于是f(x)+f(x2)=2f(x)+(f"(51)+f"(2)x1-x0)2 即f(x1)+f(x2)-2f(x)=(f"(1)+f"(2)x1-x0) 若∫"(x)>0,x∈(a,b),则 X,+x f(x1)+f(x2)-2f(x)>0, 2 f(x+x2)<(f(x)+f(x2) 2 故∫"(x)>0,x∈(a,b)时,曲线y=f(x) 在区间[a,b上是凹的
, , . 其中 1 在 x0 与x1 之间 2 在 x0 与x2 之间 ( ) 2 1 2 0 1 2 1 0 于是 f (x ) + f x = 2 f (x ) + ( f ( ) + f ( ))(x − x ) ( ) 2 1 2 0 1 2 1 0 即 f (x ) + f x − 2 f (x ) = ( f ( ) + f ( ))(x − x ) 若 f (x) 0 , x(a, b), 则 ( ) ( ) 2 ( ) 0 , f x1 + f x2 − f x0 2 1 2 0 x x x + = ( ( ) ( )). 2 1 ) 2 ( 1 2 1 2 f x f x x x f + + 即 故 f (x) 0 , x(a, b)时, 曲线 y = f (x) 在区间[a, b]上是凹的
其中,5在x与x1之间,2在x与x2之间 于是f(x)+f(x2)=2f(x)+(f"(51)+f"(2)x1-x0)2 即f(x1)+f(x2)-2f(x)=(f"(1)+f"(2)x1-x0) 若∫"(x)<0,x∈(a,b),则 X,+x f(x1)+f(x2)-2f(x0)<0, 2 x+x)>(f(x)+f(x2) 2 故∫"(x)<0,x∈(a,b)时,曲线y=f(x) 在区间[a,b上是凸的
, , . 其中 1 在 x0 与x1 之间 2 在 x0 与x2 之间 ( ) 2 1 2 0 1 2 1 0 于是 f (x ) + f x = 2 f (x ) + ( f ( ) + f ( ))(x − x ) ( ) 2 1 2 0 1 2 1 0 即 f (x ) + f x − 2 f (x ) = ( f ( ) + f ( ))(x − x ) 若 f (x) 0 , x(a, b), 则 ( ) ( ) 2 ( ) 0 , f x1 + f x2 − f x0 2 1 2 0 x x x + = ( ( ) ( )). 2 1 ) 2 ( 1 2 1 2 f x f x x x f + + 即 故 f (x) 0 , x(a, b)时, 曲线 y = f (x) 在区间[a, b]上是凹的. 凸
以上的讨论是对开区间(a,b)进行的 但结论却出现了闭区间[a,b,这正确吗? 结论是正确的,我们是利用函数的连续 性将开区间内的结论延伸到了闭区间上 以上过程实际上证明了下面的判别曲线 凹凸性的一个方法
以上的讨论是对开区间 (a, b) 进行的, 但结论却出现了闭区间 [a, b], 这正确吗? 结论是正确的, 我们是利用函数的连续 性将开区间内的结论延伸到了闭区间上. 以上过程实际上证明了下面的判别曲线 凹凸性的一个方法