简单地说,在区间I上 曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的 曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的 y=f(x) 凹y oI x, x1+x2 x, X,+x 2
简单地说 , 在区间 I 上 : 曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的. 凸 凹 O x y 2 1 2 x +x y = f (x) 2 x 1 x O x y 2 1 2 x +x y = f (x) 2 x 1 x
定义 设f(x)∈C(I) 如果x1,x2∈Ⅰ(x1≠x2)恒有 ,+x )>(f(x1)+f(x2)) 成立,则称曲线y=f(x)在区间I上是凸的; 如果∨x1,x2∈I(x1≠x2),恒有 f(x+x)<1(f(x)+f(x2) 成立,则称曲线y=f(x)在区间I上是凹的
设 f (x)C( I). , I ( ), 如果 x1 x2 x1 x2 恒有 ( ( ) ( ) ) 2 1 ) 2 ( 1 2 1 2 f x f x x x f + + 成立 , 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 上是凸的 ; , I ( ), 如果 x1 x2 x1 x2 恒有 ( ( ) ( ) ) 2 1 ) 2 ( 1 2 1 2 f x f x x x f + + 成立 , 则称曲线 y = f (x) 在区间 I 上是凹的 . 定义
凹凸性的一般性 定义是
凹凸性的一般性 定义是……
y=f(x) 弦线PQ的方程:y=f(x) f(x2)-f(x, (x-x1) 点x的坐标:x=1x1+(1-1)x2,A∈(O,1) 曲线位于弦线上方:f(x)>y弦 即f(4x1+(1-4)x2)>4f(x1)+(1-)f(x2)
O x y 凸 a x b P Q 弦线 PQ的方程: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 x x x x f x f x y f x − − − 弦 = − 点x的坐标: (1 ) , (0, 1) x = x1 + − x2 曲线位于弦线上方: f (x) y弦 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 即 f x + − x f x + − f x y = f (x) 2 x1 x
y=f(x) 弦线PQ的方程:y=f(x) f(x2)-f(x, 点x的坐标:x=x+(1-4)x2,A∈(0,1) 曲线位于弦线下方:f(x)<y弦 即f(x1+(1-)x2)<4f(x1)+(1-)f(x2)
O x y 凹 a x b P Q 弦线 PQ的方程: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 x x x x f x f x y f x − − − 弦 = − 点x的坐标: (1 ) , (0, 1) x = x1 + − x2 曲线位于弦线下方: f (x) y弦 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 即 f x + − x f x + − f x y = f (x) 1 x 2 x