III 20 第27章单复变函数 受到限制的.P(c)的系数是实的，心的取值范围是实的，并且不 包含P()=0的根.有了复函数理论的更多知识，研究x的函数 “就有可能前进一步，但这个见解没有获得效果.结果证明，Abal 和Jacobi的想法较好. 具体地说，Legendre引进了（第19章第4节）椭圆积分 F(,),E(,中)，及x(见，k,中).1826年左右，Abel注意到， 果（例如考虑F(,中）)研究 (26) -a-v0 其中化=sin中，那么会遇到象研究 -把。an 时出现的同样的困难.较好的关系来自把c作为“的函数来研究. 因此Abel建议在椭圆积分情形中，把：作为w的函数来研究.由 于x=i血中，所以中也可作为“的函数. Jacobi引进了33)记号 中=amu, 表示(26)定义的w的函数中.他还引进了 cos中=c0samu和4钟=4amu=√1-k2sin2. 这个记号被Gudermann简化为 x=sin中=sin am u=snu,cos中=cos am u=Cnu, do=dam u=dn u. 我们立刻有 sn2u+cn2u=1,dn2u+k2sn2u=1. 如果中换为一中，则“变号.故有 am(-u)=-amu,sn(-u)=-sn u, en(-u)=enu,dn(-2)=dnu, (33)Fundamenta Nova,1829
6.椭圆函数 27I1 由下式定义的量K起着三角函数中π的作用， K-a-a-两-V10m6r(6》引 t/2 与K联系着的是超越量K',它作为的函数相同于K作为 的函数，其中由2+2-1定义，0<<1. 关于K及K',重要的是（在这里不证明） sn(u+4K)=snu,cn(u+4K)=cn u,dn (ut2R)=dn u. 所以4K是椭圆函数snu和cnu的周期，而2K是dnw的周期. 到此为止，函数s如u,cmu,和dnu都只对实的x和6定义， Abel已有了把每一个函数看做是一个元素的想法，因为每一个函 数只是对实值有定义.他的下一个想法便是引进“的复值，在总 体上来定义椭圆函数.关于复函数的知识，Abl在他访问巴黎时 就熟悉了Cauchy的工作.事实上，他曾研究了变数和指数都取 复值的二项式定理.首先推广到纯虚值是利用所谓Jacobi的虚 变换来完成的.·Abel引进了 m0-g60-南40，用-45德2， c0s中 其中0=amiu,从而有 sn(n,)=isn(u. 1 i阻，，m(i,)-en, dn(iu,dn(u.) on(u, Abel除了允许他的变量取纯虚值以外，还建立了椭圆函数的 加法定理.在 -国-如 的情形，我们知道这个积分是多值函数A(w)=arcsi血心，并且有 (27) A(x1)十A(2)=A(12+t), 其中1和是相应的余弦值；即=√1一.但在这种情形下
m28 第7章单复变丽数 引进单值的反函数x=snw就可以得到很大的简化，替代(27)，我 们有熟知的正弦函数加法定理.现在在 u-s国-盘a 的情形（其中=R(x)是一个四次多项式），er曾经得到加法 定理（第19章第4节） E(a1)+E(2)=E(3), 其中a是1，c2,1,的一个已知的有理函数，并且y=√比(o). Abel认为对反函数=中(w),也许有一个简单的加法定理，而这 一点被证明是对的.这个结果也出现在他的1827年的论文中，于 是对于实的6及v有 (28) sn(u+v)snvendnv+snvcnudn 1-k2sn2usn2v 对于cn(w+v)及dn(u+v) +4+2 亦有类似的公式.这些就是 椭圆函数的加法定理，是椭 圆积分加法定理的类似物。 8十4K 对于自变量的实值和虚 值定义了椭圆函数以后， 图27.5 Abel借助于加法定理，便将 定义推广到复值.因为，若：=u十i地，则由加法定理，s sn(u+iw)就有了意义，分别用w和iv的sn,cm和dn表出. 随之还有 (29) sn(iu+2ik',)=sn(iu,k), cn (iu+4ik',k)=on(iu,) dn(iu4ik',)=dn(iu,) 所以，sn:的周期（不是唯一的）是4K及2K';m≈的周期是4K 及2K+2aK;dn的周期是2K及4iK',关于周期，重要的一点
6.梢圆函数 29111 是存在两个周期（它们的比不是实数），因而这些椭圆函数是双周 期的.这是Abl的伟大发现之一.这些函数是单值的，所以只须 在复平面的一个平行四边形中（图27.）研究它们，因为它们在每 一个全等的平行四边形中重复它们的性质.椭圆函数除去是单值 的双周期的以外，只有一个本性奇点，在∞处.事实上可以用这 些性质定义椭圆函数.在每一个周期平行四边形中，它们的确有极 点 Abel引进了椭圆积分的反演(Legendre忽略了这一点，而这 被证明是探索椭圆积分的关键)，尽管他是从Legendre那里取得 可能是他一生工作的精华的，但Legendre称赞Abel说：“这个年 轻的挪威人的智力是多高啊.”Charles Hermite说Abel留下了 一些思想，可供数学家们工作150年. Abel所得到的结果中，有许多被Jacobi独立地得到了，前面 已指出过，他在这方面的第一篇论文，出现在1827年.Jacobi知 道他在新基本(Fundamenta Nova)中所用的基本方法是不令人 满意的，并且部分地在这本书中的某些地方和他在以后的演讲中， 采用了不同的起点.他的演讲从未全部发表，但通过他的学生们 的信件和笔记，这些演讲的实质内容相当全面地被知晓了.在他 的新的探讨中，他把他的椭圆函数理论建立在被称为B函数这 辅助函数的基础上，它是用 (30) 06e日-.2ewa 为例来说明的，其中：及t是复数，且R阳(t)>0.这个级数在： 平面的任何有界区域内都绝对一致收敛.Jacobi引进了四个0函 数，然后利用这些函数来表示出n出，cnu和dn山.0函数是可以 构造出椭圆函数的最简单的元素.他还得到8函数的各种无穷级 数和无穷乘积的表示式.对于Abel工作中想法的进一步研究将 Jacobi引导到研究6函数与数论之间的关系.这个联系随后由
1130 第27章单复变函数 Hermite,Kronecker以及其他人继续进行.P函数的多种不同形 式之间的关系的研究是十九世纪数学家的一个较重要的活动.它 是常见的贯穿在数学中的许多流行一时的风尚之一 在1835年的一篇重要论文34)中，Jacobi证明了单变量的一 个单值函数，如果对于自变量的每一个有穷值具有有理函数的特 性（即为一亚纯函数），它就不可能有多于两个的周期，而周期的 比必须是一个非实数.这个发现开辟了一个新的研究方向，即，找 出所有的双周期函数的问题.就在1844年35)，Li0 aville在给法 国科学院的一封信中，说明如何从Jacobi的定理出发建立双周期 椭圆函数的一个完整的理论.这个理论是椭圆函数方面的一个较 重要的贡献.在双周期性中Liouville发现了椭圆函数的一个实 质性质及其理论的一个统一观点，虽然双周期函数是比Jacobi称 之为椭圆函数的更广的一类函数，但双周期函数的确具有椭圆函 数的所有的基本性质. Weierstrass于l860年左右开始研究椭圆函数，他从Guder- mann那里学习了Jacobi的工作，并从Abel的论文里学习了Abel 的工作。这些论文给他的印象如此之深，以致于后来经常督促他 的学生们读Abl的著作.这时，为了他的教员证明书，他研究了 Gudermann给他指定的一个问题，即把椭圆函数表示成为幂级数 的商.他做到了这一点.作为一个教授，在他的讲演中他经常重新 作出他的椭圆函数理论. Legendre曾将椭圆积分简化成含有一个四次多项式的平方 根的三个标准形式.Weierstrass得到含有一个三次多项式的平方 根的三个不同形式3)，即 (24)Jour.fiir Math,13,1835,56~78=Werke,,2,23~50. (5)Comp.Rend,19,1844,12611263,and32,185L1,450~452. (6)Sitzungsber.Akad.Wiss.u Berlin,1882,443~451 -Werke,2,24555; see also Werke,5