5.eierstrass探讨厨数论的途径 211 区域中：的每一个值，当函数是单值的时候，他用了monoty pigu6或monodrome,一个函数是monogen,如果对于每一个 名，它恰有一个导数（即，导数与路径无关）.他称一个永不为无穷 的、恰有一个导数的、单值函数为synectique.后来Charles A.A. Briot(1817~1882)和Jean-Claude Bouquet(1819~1885)引进了 holomorphic'”(全纯)代替synectique,并用“meromorphic”'(亚 纯)称在区域中只有极点的函数. 5.Weierstrass探讨函数论的途径 正当Cauchy在由解析式表示的函数的导数和积分的基础上 建立函数论的时候，Karl Weierstrass开辟了一条新的探讨途径. 他于181i年出生在外斯特法利亚(Westphalia),在波恩大学学习 法律.学了四年以后，他在1838年转向数学的学习，但未完成博 士工作，而是得到许可，当一个高中(gymnasium)教员，从1841年 到1854年他教年轻人的写作课及体育课.这些年间他与数学界 没有接触，但他刻苦地进行数学研究.在这段时间内他发表的少 数几个结果使他在1856年获得在柏林的工学院讲授技术课程的 位置.同一年他成为柏林大学的讲师，随后在1864年成为教授， 一直担任这一职位到1897年去世. 他是一个有条理而又苦千的人.不象Abel,Jacobi,Riemann 那样，他没有直觉的闪光.事实上他不信任直觉，而是致力于使数 学推理建立在一个牢固的基础上.有鉴于Cauchy的理论建立在 儿几何的基础上，Weierstrass转而构造实数理论；这个工作约在 1841年完成之后（第41章第3节），他在幂级数的基础上建立起 解析函数的理论，并建立起解析开拓的方法，幂级数的技巧是他从 他的老师Christof Gudermann(1798~1852)那里学来的.这个 工作是在十九世纪四十年代完成的，虽然当时他并没有发表，他
I1I22 第27章单复变函数 在函数论的许多其它方面作出了贡献，并研究了天文学中的%体 问题和光的理论， 很难确定Weierstras的创作的日期，因为当他第一次得到这 些创造时发表的并不多.通过他在柏林大学的讲演，他的许多工 作才被数学界知道.当他在十九世纪九十年代出版他的《著作集》 (Wrke)时，他并不耽心优先权，因为他的很多结果在当时已被其 他人发表，他更关心的是阐明他发展函数论的方法. 用幂级数表示已用解析形式给出的复函数，自然是众所周知 的.但是，从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出 发，根据幂级数的有关定理，推导出在其它区域中定义同一函数 的另一些幂级数，这个问题是Weie1 strass解决的.一个在以a为 圆心以？为半径的圆C内收敛的：一a的幂级数，代表一个函数， 它在圆0内的每一个：值上解析.在圆内选择一点并利用原 始级数所给出的函数及其各阶导数的值，可以得到：一b的一个新 的幂级数，它的收敛圆C与第一个圆交送.在两个圆的公共点 上，这两个级数给出函数的同一个值.但是，对于C'的处在C外 部的点，第二个级数的值是第一个级数定义的函数的一个解析开 拓.尽可能地继续下去，从C接连地开拓到其它的圆，就得到 f(z)的全部解析开拓，完全的f(2)便是在所有的圆中、在所有点 上的值的集合.每一个级数称为函数的一个元素。 在增加愈来愈多的收敛圆以拓广函数的定义域的过程中，一 个新圆也许可能覆盖链中不直接在它前面的一个圆的一部分，并 且在这个新圆和前面-一个圆的公共部分中函数的值可能不一致， 这时函数便是多值的 在这个过程中可能出现的奇点（极点或支点），必定位于幂级 数的收敛圆的边界上，如果一个奇点的阶是有穷的，那么它是由 Weierstrass包含在函数之中的，因为在这样一个点上(z一o)1,"的 幂级数展开式只可能有有穷个负指数的项.为了得到在=∞附
6.粉圆函数 231 近的展开式，Weierstrass使用1/：的级数.如果函数元素在全平 面收敛，Weierstrass就称它为一个整函数.如果它不是一个有理 整函数，即不是一个多项式，那么它在∞处便有一个本性奇点（例 如sin2)」 Weierstrass还给出幂级数的第一个例子，它的收敛圆是它的 自然边界，即，圆是奇点曲线，并且给出了一个解析表达式的一个 例子，它在平面的不同部分可以代表不同的解析函数。 6。椭圆函数 在这个世纪前半叶，可与复函数论基本定理的发展相提并论 的，有椭圆函数及以后的Abl函数的特殊发展.毫无疑问， Gauss得到了椭圆函数论中的许多关键性的结果，因为其中许多 是在他死以后，在一些他从未发表过的论文中找到的.不过，公认 的椭圆函数论的创始人是Abel和Jacobi Niels Henrik Abel(1802~1829)是一个穷牧师的儿子.作为 在挪威奥斯陆学习的一个学生，他有幸以Berndt Michael Holm bǒe(1795~1850)作为老师.后者看出Abel的天才，并预言Abel 十七岁时将成为世界上最大的数学家.在奥斯陆和哥本哈根学习 完以后，Abel得到了一笔奖学金，使他能够出外旅行.在巴黎他 被介绍给Legendre,Laplace,Cauchy及Lacroix,但他们无视他， 用完了钱以后，他到柏林去和Crelle一起度过了1825~1827 年.他自己写道，当他回到奥斯陆时极度疲竭，以致于他需依靠在 一所教堂的门上.为了钱，他给年轻学生教课.通过他发表的工 作，他开始引起人们的注意，Crelle曾想，他也许可以为Abel在柏 林大学谋一个教授的位置.但Abal生了肺病，并于1829年去世. Abel知道Euler,Lagrange,Legendre在椭圆积分方面的工 作，他从事于这一工作也许是从Ga口ss所作的评论，特别是他的
I1124 第27章单复变函数 《算术研究(Disqwisitiones Arithmeticae)中的陈述得到启发的.他 自己从1825年起开始写论文，他把他关于积分的重要论文于1826 年10月0日送到巴黎科学院，以便能在它的杂志上发表.这篇 论文是《关于很广一类超越函数的一个一般性质》，包含了Abl大 定理（第T节）.当时科学院的秘书Fourier读了论文的引言，然 后委托Legendre和Cauchy对论文作出评价，后者是主要负责 人，这篇论文很长并且很难，这只是因为它包含了许多新的概念， Cauchy把它放在一旁，醉心于自已的工作.Legendre把它忘了. Abel去世以后，当他已经有了名望时，科学院寻找这篇论文，找到 之后于1841年发表29).Abel在Crelle杂志*和Gergonne的k年 报》上发表了其它关于方程论和椭圆函数的论文.这些论文从 1827年起开始刊出.因为Abe11826年的主要论文到1841年才 发表，所以其他的一些作者，读了这段时期内发表的限制较多的定 理，独立地得到了许多Abel1826年的结果.」 另一个椭圆函数的发现者是Carl Gustay Jacob Jacobi(1804 ~1851).和Abl不一样，他过着安静的生活.他出生于波茨坦 (Po1sdam)的一个犹太人家庭，在柏林大学学习，到1827年成为 哥尼斯堡(K6 nigsberg)的一个教授.1842年，由于健康不良，他放 弃了他的职位.普鲁士政府给了他退休金，退隐到柏林，于1851 年去世.他在世的时候声誉就很高，他的学生把他的思想散播到 各个地方 Jacobi讲授椭圆函数多年.他对这一课题的深讨成为函数论 本身发展所遵循的模式.他还研究了函数行列式(Jacobi行列式)、 常微分方程和偏微分方程、动力学、天体力学、流体动力学、超椭圆 积分和超椭圆函数.Jacobi常被认为是一个纯粹数学家，但是，象 他那个世纪和前一些世纪中的儿乎所有的数学家一样，他最认真 地研究自然界」 (29)Hm.des.sau.cng5r8,7,184L,176、264=Eut*e9、145、211
6.椭圆函数 25I11 当Abel研究椭圆函数的时候，Jacobi(他也已经读过Legen dre关于椭圆积分的工作)在1827年开始研究椭圆函数.他送了 一篇没有证明的论文给《天文报告》(Astronomische Nachrich-- tem)(o).差不多在同一时间，Abel独立地发表了他的《关于椭圆函 数的研究》).两个人都达到了从椭圆积分的反函数着手研究这 一关键性想法，这个想法Abel从1823年就已经有了.Jacobi后 来给出了他在1827年发表的结果的证明，发表在1828~1830年 的Crelle杂志》的几篇文章中，此后两个人都发表了关于椭圆函 数的论文；不过Abel在1829年就去世，而Jacobi活到1851年， 因而能够发表多得多的东西.特别地，Jacobi1829年的椭圆函 数基本新理论(Fundamenta Nova Theoriae Functionum EWipti.- caum)32)成了椭圆函数的一本关键性的著作 通过Jacobi的来信，Legendre熟悉了Jacobi和Abel的工 作.1828年2月9日他在给Jacobi的信中说：“我很满意地看到 两个年轻数学家如此成功地开辟了分析的一个分支，它很久以来 是我喜爱的领域，但在我自己的国家中它却没有受到应有的重 视.”后来Legendre发表了他的《椭圆函数专著》(Traite des fonctions elliptigues,二卷，1825~1826)的三个补篇，其中他叙述 了Jacobi和Abel的工作 一般椭圆积分牵涉到 (25) u=R(c,√P(c), 其中P(c)是一个具有不同根的三次或四次多项式，R(c,y)是x 和y的一个有理函数.企图推断x的函数出的一般性质的努力失 败了，这是因为对于Euler和Legendre来说，积分的意义本身是 (30)4 strom.Nach,6,1827,33~33=Wcr%,1,31~36. (31)Jo.fir1Math,3,1827,101~181and3,1828,160~190=Eure.263 388. (32)1 erke,1,49、239