6.椭团函数 3111 J√/4a3-g2c-93 J」74-9o-93 ∫a-o4w-ga0 d 他把“反演”第一个积分所得的椭圆函数作为基本的椭圆函数.就 是，如果 u-2-ga dx 那么u的椭圆函数x就是Weierstrass的 x=p(u)=p(u g2,g3). 为了使p(u)不退化为一个指数函数或三角函数，必须有判别式路 一27g≠0，换句话说，x的三次多项式的三个根应该是不相等的. Weierstrass的双周期p()起着Jacobi理论中snu的作用并且提 供了最简单的双周期函数.他证明了每一个椭圆函数可以借助于 p()和他的导数很简单地表示出来.在Weirstras的探讨中，椭 圆函数的“三角学”比较简单，但Jacobi的函数和I.egendre的椭 圆积分对于数值计算比较好. Weierstrass实际上是从他的p(w)的一个元素出发，即， p侧=是+器+器心+…ge的是复的)， 这个元素是他利用解以上积分给出的关于dc/du的微分方程得到 的.然后，类似于Ab©l的方式，利用关于p()的加法定理得出整 个函数.Weierstrass的工作完备了、改写了、并且美化了椭圆函数 的理论。 虽然我们将不进入特殊细节的讨论，但在我们离开椭圆函数 这个课题以前，不能不提-下Charles Hermite(1822~1901)的 工作，他是巴黎大学理学院(Sorbonne))和多科工艺学校的教授. 他从学生时代起就经常研究椭圆函数.他在1892年写道，“我不 能离开椭圆领域。山羊被系在那里，就必须在那里吃青草，”他创
32 第27章单复变面数 作了理论本身中的基本结果，并研究了与数论的联系.他应用了 椭圆函数解五次多项式方程，并处理了包含这种函数的力学问题， 他也由于对e的超越性的证明和他引进的Hermite多项式而闻 名于世. 7,超椭圆积分与Abel定理 在椭圆积分(25)和相应函数的研究中所取得的成功鼓励着数 学家们去处理一种更难类型的积分一超椭圆积分. 超椭圆积分具有形式 (31) R(a,y)do, 其中R(c,y)是心和y的一个有理函数，y2=P(),并且P()的 次数最少是五.当P()是五次或六次时，这种积分在十九世纪中 期，被称为超椭圆积分，为了强调复值，通常把它写成 (32) R(u,2)dz; 而P()通常被写成 (33) w2=P(a)-A(a-e1)…(2-em) 当然贴是：的一个多值函数 在形如(32)的积分中，有一些是处处有穷的.这些基本的积 分是 (34) ∫德德”%地， 其中“由(33)给出，而p=(n-2)/2或（一1）/2，依n是偶或奇 而定.对于%=6（因而p=2),有两个这样的积分.一般积分(32） 最多有极点和对数奇点，即，象10gz在2=0处那样的奇点.那些 第一类的积分，即，那些处处有穷因而没有奇点的积分，总是可以 借助于线性无关的p个积分(34)表示出来
T.超椭圆积分与Abl定理 33I11 对于%=6（因而p=2)的情形，第二类积分的范例是 (35) 'dz dz P商'P商， 其中P()是一个六次多项式.对于%=6，第一类和第二类积分 每个都有四个周期. 超椭圆积分是上限：的函数，如果下限固定的话.假定我们用 0表示这样一个函数.那么，象椭圆积分的情形一样，可以提出什 么是w的反函数：的问题.Abel处理了这个问题，但他没有解 决；后来Jacobi着手处理了这问题3).我们按照Jacobi那样来考 虑特殊的超椭圆积分 (36) w-6o- 其中P()是一个五次或六次多项式.在这里，要将：确定为w的 单值函数，经验证明是没有希望的.事实上，Jacobi证明，对于五 次的P(),这种积分的单纯反演并不引到一个单演函数.对 Jacobi说来，反函数是不合理的，因为在每一种情形下：作为w的 函数是无穷多值的；而在当时这种函数并不能被很好地理解. Jacobi决定考虑这种积分的组合.在Abel定理（看下面）的 指引下（这个定理的叙述他至少是知道的，因为大部分内容已经发 表)，Jacobi的作法如下.考虑方程 (37) 阿+6 (38) 0。+0海 Jacobi成功地证明了，对称函数名十2和都是w和w2的单 值函数，具有四个周期的一个系统.于是就得到两个变数w1和 的函数和2，他还给出了这些函数的一个加法定理.Jacobi遗 (37)Jour.fur Math.,9,1832,394403-Werke,2,7~16,and Jour.fur Math., 13,1835,55~78=Were,2,25~50and516~521
1134 第？章单复变函数 留下许多不完全之处，他说：“对于Gau3s的那种严密性，我们没有 时间.” 推广椭圆与超椭圆积分的研究是由Galois开始的，不过较重 要的开创性步骤是Abel在1826年的论文中作出的.他考虑 (32),即 (39) R(u,2)dz, 但原来(33)那里的w和：只是由一个多项式如2=P(②)联系着， 因而代替(33)，Abel考虑一个一般的含：和u的代数方程 (40) f(,)=0. 方程(39)和(40)定义一个Abl积分，它包含椭圆与超椭圆积分作 为特殊情形. 虽然Abel没有将Abel积分的研究推进很远，但他证明了这 方面的一个关键性定理.Abel的基本定理是椭圆积分加法定理 (第19章第4节)的一个很宽的推广.这个定理和证明是在他1826 年的巴黎论文中，定理的叙述刊在1829年的Cre1le杂志8)上. 考虑积分 (41) R(a,y)da, 其中x与y由方程f(,)=0联系，于为x和则的一个多项式， 在Abel写的文章中，：和y作为实变数，虽然偶尔也以复数出 现.非严谨地叙述起来，Abel定理是这样的：“几个具有形式(41) 的积分之和可以用”个这样的积分加上一些代数的与对数的项表 示出来.另外，这个数p只依赖于方程f(心，)=0，而事实上，它 就是这个方程的亏格(genus). 为了得到一个更精确的叙述，设y是x的代数函数，由下式定 义： (38)Jour.fir3Math,4,212~215=Eures,515517
7.超椭圆积分与Abe1定理 3511 (42) f(化，y)）=+A-1+…+An=0, 其中A:是心的多项式，而多项式(42)不可能分解成同样形式的因 式.设R(m,y)是x和y的任一有理函数.则任何m个相似积分 之和 (43) R(d mr(,）dac (其下限固定，但是任意)，可以用c1,1,…,m,y的有理函数 与这种有理函数的对数加上p个积分 (44) ”rd,,”r,a 之和来表示，其中，…，是匹的值，可从，班，…，m,ym作 为一个代数方程的根确定出来，这个方程的系数是心，1，…，xm, m的有理函数，而8，，8是由(4)确定的相应的y值，而任一 &可以确定为4及心，1，，m,n的一个有理函数.这样用 (c1,),…,(rm,ym)来确定（名，），…，(，s)的关系必须假 定在积分的各阶段中都成立；特别是这些关系确定出后面卫个积 分的下限，用开始的m个积分的下限表示.数p不依赖于m,不 依赖于有理函数R(c,）的形式，也不依赖于，，，xm,ym 的值，但它确实依赖于联系y与：的基本方程(4). 在f=-P(),P(x)是一个六次多项式而p=(n一2)/2=2 的超椭圆积分的情况下，Ab1定理的主要部分是说 (4镯ae,0da+…+e,0da -后r,)d+j心r,Wda +R(c1,v1,.,4m,ym,A,y(A),B,y(B)) +∑c0nt.logB2(c1,h,…,cm,ym, A,(A),B,y(B)), 其中B1和R2是它们的变数的有理函数