11i16 第27章单复变函数 其中积分是沿着一个包含：=的小圆取的.留数的概念及发展 是Cauchy的一个重要贡献.到此为止，他所给出的所有结果的 直接应用都是计算定积分的值. 从Cauchy在他1814年论文的脚注中增加的内容以及1825 年杰出的论文中写的东西，显然看出，他一定是通过长期而刻苦的 思考才认识到，引进复量以后，实函数对之间的一些关系就获得它 们的最简单的形式.至于他从Gauss和Poisson的工作中究竞学 到了多少东西那是不知道的. 在1830年到1838年间，当他住在都灵及布拉格时，他发表 的工作是不连贯的.在他的《分析与数学物理练习》(Ec8 rcices d'amalyse et de physiqie mathematique,,四卷，1840~1847)中，他 引用了这些工作，且将其中的大部分重新刊入. 在1831年写成的发表较晚的一篇论文中0，他得到下述定 理：函数f(z)可以按照Maclaurin公式展成为一个幂级数，它对所 有这样的：收敛，即：的绝对值小于那些使函数或其导数不为有 穷或不为连续的名.（在那时Cauchy所知道的奇点仅仅是我们现 在称为极点的奇点.)他证明这个级数逐项按绝对值小于一个收敛 的几何级数，其和数为 名间， 其中2是使∫()不连续的第一个值，才（②）是就所有绝对值等于 |Z的z而言f(2)|的最大值.这样Cauchy就给出了函数可展 为Maclaurin级数的一个有力的便于应用的判别法则，它用了一 个现在称为强级数的比较级数， 在定理的证明中，他首先证明 (20)Comp.Rend.,4.,1837,216~218-Euures,(1)4,38~42;see also Exercices danalyse et de physique mathematique,Vol.2,1841,48112Euvres,(2), 12,48~112
4,复函数论的基础 i7 fo=∫@冰， 其中：=|Ze.这个结果实际上就是我们现在所称的Cauchy积 分公式.然后他将分式/（区一）展为/：的幂的几何级数并证明 了定理本身 在这个定理中Cauchy还假定了由函数本身的连续性必然推 出导数的存在性及连续性.在他把这个材料重新写在他的《练习》 中的时候，他曾与Liouville和Sturm通信并对以上定理的叙述增 加了这样一句话，即收敛区域止于使函数及其导数不再为有穷或 连续的：的那个值.但他还是没有确信必须对导数加些条件，面 且在后来的工作中他把它们别掉了. 在另一篇比较重要的关于复函数论的论文《关于伸展到一个 闭曲线的所有的点的积分2中，Cauchy将[解析的]f(e)-u+iu 沿着一个[单连通]区域边界曲线的积分和展布在这个区域上的积 分联系起来.若%，v是，y的函数，则 e-品)h-小g+小e, (22) j(0+器)ag--d均)+∫ay, 其中二重积分展布在区域上，而单积分沿着边界曲线.现在，考虑 到Cauchy-Riemann方程（见[13]），左边等于0，两个等式的右边 就是出现在 f(d=(au+iw）(dc+idg)=(dac-vd）+if(udy+da) 中的积分.所以f(z)dz=0,因而Cauchy得到了与路径无关的 基本定理的一个新证明.他对一个矩形证明了这定理，然后，推广 到不自交的闭曲线.（这个定理Weierstrass在1842年也独立地 (21)Comp.Bend,23,1840,251~255E24me,(1),10,7074
1118 第27章单复变函数 得到.)Cauchy是否学习了Green1828年的工作（第28章第4 节)才得到他早期的一些概念的比较丰饶的公式表示，这点是不能 肯定的，但这样的征兆是有的，因为Cauchy将以上结果推广到了 曲面上的区域. 在以上提到的1846年论文和同一年的另一篇论文22)中， Cauchy改变了他对复函数的观点，与他1814,1825及其1826年 的工作相对立.现在他关心的不再是实积分及其计值，而转到复· 函数理论本身，并为这个理论建立基础.在1846年的第二篇论文 中，他给出了关于沿着一条任意闭曲线的积分f()d红的一个新的 叙述：如果曲线包围者一些极点，那么积分的值是函数在这些极点 上的留数之和的2πi倍.就是说 (23) f(2)dz=2πiE[f(a)], 其中E[f()]是他用以表示留数之和的记号 他还着手处理了多值函数的积分.2)论文的第一部分（其中 他处理了单值函数的积分)叙述的内容并不比Gaus则在给Bessel 的信中关于dc/c或d/(1+)所指出的更多.这些积分确是 多值的，而且它们的值与积分路径有关 但Cauchy更进一步考虑积分号下的多值函数.在这篇论文 中他说，如果被积函数是一个代数方程或超越方程的根，例如 wdz(其中2w3=),且如果沿着-一条闭路径积分并又回到起点，那 末被积函数现在就表示另外一个根.在这些情形中沿着闭路径积 分的值依赖于起点；而沿着路径的延拓产生积分的不同的值.但 (22)"Sur le intgrales dans lesquelles la fonction sous le signe change brusquement 133~134and13514g (23)"Considerations nouvelles sur les intsgrales definies qui s'stendenta tous les points d'une courbe fermee,"Comp.Rend.,23,1846,689~702 =Euvres, (1),10,153~168
4,复函数论的基础 191t 若环绕路径充分多次使2w回到它的原始值，那么积分的值将重复 出现，因而积分是：的一个周期函数.积分的周期模(indices de periodicite)不再象单值函数的情形那样，可以用留数表示了. Cauchy关于多值函数的积分的概念依然是模糊的. 自1821年以后，差不多二十五年中，Cauchy单独一人发展 了复函数理论.1843年他的同国人才开始继续他的工作.Pierre- A1 phonse6 Laurent(1813~1854),单独工作并发表了在1843年得 到的-个较重要的结果24.他证明，当一个函数在一孤立点上不 连续时，就必须用变数的升幂及降幂展开式来代替Taylor展开式. 如果函数和它的导数在一个圆环内单值并连续，这个圆环的中心 是孤立点a,则函数以相反方向沿着圆环的两个边界圆所取的积 分适当展开后就给出名的升幂及降幂的一个展开式，它在圆环内 收敛.这个Laurent展开式是 （(24) fa)-2ag-)5 它是Taylor展开式的一个推广.这个结果Weierstrass在1841年 就已知道，但未发表2)， Viotor-Alexandre Puiseux研究了多值函数的问题.1850年 Puiseux发表了一篇著名的论文②)，论f(u,)=0给出的复代数 函数，其中f是“和：的多项式.他第一次搞清了极点与支点的区 别(Cauchy几乎没有觉察到这一点)，并且引进了本性奇点（一个 无穷阶的极点)的概念，对这个概念Weierstrass曾独立地促使人 们注意.这样的点可以用e“在z=0作为例子.虽然Cauchy在 1846年的论文中确实考虑了简单多值函数沿着包围支点的几条 路径的变化，但是Puiseux也澄清了这个问题.他证明，如果山 (24)Comp.Rend.,17,1843,348~34y;文章全文发表在Jor.de PEcole Poly.,23, 1863.75204. e5）er品，1,516. (26)Jour.de Math,.15,1850,365~480
1120 京27意的領变函数 是f(u,)=0的一个解，而且÷沿着某一条路径变化，则山1的最 后值并不依赖于路径，只要这个路径确实不包围使1为无穷的任 何点，也不包围使山等于其它解的任何点（即一个支点）。 Puiseux还证明了，名的函数在支点=a处附近的展开式必 须含有：一a的分数次幂.于是他改进了Cauchy的把函数展为 Maclaurin级数的定理.Puiseux得到f(u,)=0的解w的-一个 展开式，它不是展成”的幂而是展成名一℃的幂，所以这个展开式 在一个以·为中心，并且不含极点或支点的圆内是正确的.然后 Puiseux让c沿着一条路径变化，使那些收敛圆部分重迭，并使在 一个圆内的展开式可以延伸到另一个圆.这样，从“在一点的值 开始，可以沿着任何一条路径了解它的变化. 通过他对于多值函数和它们在复平面上的支点的有意义的研 究，并且通过他对于这种函数的积分的创始性工作，Puiseux把 Cauchy在函数论方面的先驱性工作推进到可以称为第一阶段的 尽头，多值函数和它们的积分的理论中的困难尚待克服.Cauchy 的确写了关于多值函数的积分的其它论文2”，在其中他企图跟上 Puiseux的工作；虽然他引进了分支切割的概念，但他对极点和 支点的区别仍然混淆不清.代数函数及其积分的这个课题要由 Riemann来继续进行（第8节）. 在1851年《报告》(Comptes Rendus)的另外几篇论文中2s), Cauchy给出了关于复函数性质的-一些更谨慎的叙述.特别地， Cauchy肯定了复函数本身及其导数的连续性对于幂级数展开式 是必需的.他还指出作为”的函数的u在：=a处的导数与心十侧 平面上名趋于a的方向无关，且w满足au/x2+u/8y2=0. Cauchy在1851年的这些论文中引进了新的术语.对于某一 (27)Comp.Rcnd.,32,1851,68~75and162~164=E:27e8,(1),11,292~300 and304~205. (28)CEu*es,(1),1