III 6 第27章单复变函数 一个稍微不同的几何解释.Argand也是自学的，并且是一个 簿记员，他曾出版了一本小书《试论几何作图中虚量的表示法》 (Essai sur une mamiere de representer les quantites imaginaires dans les constructions geometriques,1806).(2他注意到负数是正 数的一个扩张，它是将方向与大小结合起来得出的.于是他问，我 们能否利用增添某种新的概念来扩张实数系？考虑序列1，x, 一1，我们能否找到一种运算，将1转变为心，再把它应用到心上又 将x转变为一1？如果将0P(图27.2)按反时针方向绕0转动90° 然后重复这个转动，我们就确实由于两次重复一个运算而由P到 了Q.但是，Argand注意到，这正是以√一1乘1，然后又以 √一1乘此乘积时所发生的事情；即得到一1.所以我们可以把 √一1看成是按反时针方向转过90°的旋转，而-√一互是顺时针 方向转过90°的旋转 利用复数的这个运算意义，Argand决定，由原点出发的一个 典型线段OB(图27.3，他称它为有向线)应表为r(cosa+iina), 其中？为长度.他也把复数a+诚看做是符号化了a及bi的几 何结合OB.Argand象Wessel一样，指出如何将复数几何地相 加或相乘，并应用这些几何想法去证明三角，几何及代数的定理！ 虽然Argand的书在复数的几何解释方面惹起一些争论，但这是 他对数学所作的唯一贡献，他的工作没有多大的冲击，然而我们现 在仍然讲Argand图解. 在使人们接受复数方面，Gaus做得更为有效.他在代数基 本定理的几个证明中，用了复数（第25章第2节）.在前三个证 明中(1799,1815及1816)，他预先假定了直角坐标平面上的点与 复数的一一对应.这里没有实际画出心+以，而是将x和y作为 (②)一批论Argand以及其他作者的关于复数几何表示的思想的文章，可以在 Gergonne的Annales des Mathematiques*的第四卷(1813~l814)和第五卷(1814 1815中找到
3.复数的几何表示 7 平面上一点的坐标.此外，在证明中并没有真正用到复函数理论， 因为他将涉及到的函数分为实部和虚部.他在18113)年给Bessel 的一封信中说得更明显，他说a+i用点(a,b)表示，并说在复平 面上可以沿着许多路径从一点到另一点.毫无疑问，从三个证明 及其他未发表的工作（其中有一些我们随后就要讨论）中所表现出 来的思想，可以判断1815年Gauss已完全掌握了复数及复函数的 几何理论，虽然在1825年的一封信中他确实说了“√一1的真正 奥妙是难以捉摸的” 然而，如果说Gauss仍1旧有任何顾虑的话，那他在1831年前 后已经克服了它们，他公开描述了复数的几何表示.Gauss在为他 的论文“双二次剩余理论”所作的第二个说明中以及在他为1831 年4月23日的《哥廷根学报》(Gittingische gelehrte Anceigen)所 写的这篇论文的“摘要”中)，他对复数的几何表示是很清楚的. 在论文的第38节中他不仅将。+航表示为复平面上一点（不象 Wessel和Argand那样表示为一向量)，而且阐述了复数的几何 加法与乘法.在“摘要”o中Gauss说，双二次剩余理论进入复数域 可能会扰乱了不熟悉这些数的人们，并且可能使他们对剩余理论 有不确定的印象.所以他重复了他在这篇论文中对复数的几何表 示所说的话.然后他指出，虽然现在对于分数、负数及实数都已很 好地理解了，但对于复数只是抱了一种容忍的态度，而不顾它们的 巨大价值.对于许多人来说，它们不过是一种符号游戏.但是在 这个儿何表示中人们可以看到“复数的直观意义已完全建立起来 并且不需要再增加什么就可以在算术领域中采用这些量[着重号 是添加的].”他还说，如果1，一1和√一1原来不称为正、负和 (3)W erke,.8,90~92. (倒Comim,8o.Got.,3,1832=Wcr,2,95148这篇论文的主要内容将在第 34章第2节中讨论. (5)⑤Werke,,2,169~178. (6)were,2,174ft
1r8 第27章单复变函数 虚单位而称为直、反和侧单位，那么人们对这些数就可能不会产 生一些阴暗神秘的印象.他说几何表示使人们对虚数真正有一个 新的看法.他引进术语“复数)以与虚数相对立，并用代替 1. 4。复函数论的基础 Gauss还引进了有关单复变函数的一些基本概，念.在1811年 给Bessel的信中，针对Bessel的一篇关于对数积分dc/c的论 文，Gauss指出将虚（复）的积分限考虑进去的必要性.然后他问， “当上限为a+bi时中(ar)dc(Gaus写为cdar)的意义应当是 什么？显然，如果要求有清楚的概念，那就必须假定心取小的增 量，从使积分为零的x值到a+bi这个心值，然后将所有的中()d 加起来….但是在复平面上从x的一个值到另一个值的连续过 程发生在一条曲线上，所以通过许多条路径是可能的.现在我断言 积分中()dm只有一个值，即使是通过不同的路径，只要在两条 路径所围的空间内中(x)是单值的，并且不变为无穷.这是一个很 美丽的定理，它的证明并不难，我将在一个适当的机会给出这证 明.”Gauss没有给出这个证明.他还断言，如果(c)变为无穷， 那么中()d可以有许多值，取决于所取的闭路径围绕中()变为 无穷的点一次，二次或更多次 然后Gauss回到d/x的特殊情形并且说，从c=1出发，走 到某一个值a+bi,如果路径不包围心=0，就得出积分的唯一的 一个值；但是如果路径包围心=0，那末就必须对从x=1到a+bd (⑦Wrka,8,p.102. (8)W erke,.8,90~92
4,复函数论的基础 不包围G=0的路径所得之值加上2xi或一2xi.这样，对于一个 已给的a+bi,就有许多对数.随后在这信中，Gauss说复变函数 的积分的研究应引导到最有趣的结果.所以，甚至在Gauss发表 他的代数基本定理的第二及第三个证明以前一一在其中，象在第 一个证明中一样，他避免直接应用复数及复函数，除去偶然一次写 出a+bW三以外— 他对于复函数及其积分已有很明确的概 念. Pois90n在1815年注意到并且在1820年的一篇论文)中讨 论了，沿着复平面上的路径所取的复函数的积分的用处.作为一 个例子，他给出了 (10) f1do J-1· 在这里他令心=e,其中0由(2m+1)x变到0，并且，将积分作为 一个和数的极限处理，得到值一(2m+1)π. 于是他指出，一个积分，沿着一条虚路径同沿着一条实路径， 其值不一定相同.他给出了例子 (11) ∫得血， 其中a和b是正的常数.他令心=t+k,其中飞是常数且是正的， 对于>b,他得到x(eb-e)/2m,而当<b时，得eb.第 二个值对于飞=0也是正确的.所以对于飞的两个不同的值（意味 着两条不同的路径)，就得到两个不同的结果.Poisson是第一个 沿着复平面上的路径实行积分的人。 虽然Gauss和Pois9on的这些观察的确是重要的，但他们都 没有发表过较重要的关于复函数理论的文章.这个理论是 Augustin-Louis Cauehy建立的.1789年，他生于巴黎，于1805 年进入多科工艺学校，在那儿他学习工程.由于他的健康情况很 (9Jom.de Ecole Poly-.,11,1820,295~341
III 10 第27章单复变函数 差，Lagrange和Laplace就劝他献身于数学.他担任了多科工艺 学校、巴黎大学及法兰西学院的教授.政治对于他的经历发生了 意料不到的影响.他是一个热心的保皇党员，并且是Bourbons家 族的支持者.1830年，当Bourbons家族的一个远支统治法国时， 他拒绝发誓效忠于新君主政体，并且辞去了多科工艺学校的教授 职位.他出走到都灵，教了几年拉丁文和意大利文，1838年他回 到巴黎，在那里当了几个教会机构的教授，一直到1848年的革命 以后的政府废弃了效忠的誓言.1848年Cauchy主持了巴黎大学 理学院(Faculte des Sciences of the Sorbonne)的数学天文学讲 座.虽然apoleon第三在1852年恢复了誓言，但他允许Cauchy 拒绝宣哲.对于皇帝的屈尊姿态，他的回答是捐赠他的薪金给他 曾住过的地方西阿(Seeaux)的穷人.Cauchy是一个令人钦佩的 教授和一位最伟大的数学家，他于187年去世. Cauchy具有广泛的兴趣.他熟悉他那时代的诗歌并且是一本 关于Hebrew作诗法著作的作者.在数学方面他写的论文超过七 百篇，仅次于Elr.他的全集的近代版有二十六卷，包含数学的 一切分支.在力学方面，他写了关于杆和弹性膜的平衡以及关于弹 性介质中的波等重要著作.在光的理论中，他研究了Fresnel开创 的波的理论及光的散射和极化.他大大地发展了行列式的理论， 建立了常微分方程和偏微分方程的一些基本定理. 在复函数理论方面，Cauchy的第一篇重要论文是他的“关于 定积分理论的报告”(M6 moire sur la théorie des integrales d6fnie9).这篇论文1814年宣读于巴黎科学院.但直到1825年 才送去发表，在1827年出版.ao)出版时Cauchy增加了两个注 解，相当可靠地反映了1814年到1825年间的发展和在这个期间 Gauss的工作的可能影响.现在我们来看一下这篇论文本身.在 (10)M6m.des sav..Btranger8,(②)，1,1827,599~799-Euvres,,(),1,319 506