27 单复变函数 实城中两个真理之间的最短路程是通过复城， Jacques Hadamard 1.引宫 从技术观点来看，十九世纪最独特的创造是单复变函数的理 论.这个科目时常被称为函数论，虽然这个简称隐含有更多的意 思.这个新的数学分支统治了十九世纪，几乎象微积分的直接扩 展统治了十八世纪那样.函数论，这一最丰饶的数学分支，曾被称 为这个世纪的数学享受。它也曾被欢呼为抽象科学中最和谐的理 论之一. 2。复函数论的开始 我们已经看到，复数尤其是复函数是由于与部分分式积分法， 确定负数与复数的对数，保形映射，以及实系数多项式的分解等相 联系而实际进入数学的.实际上十八世纪的人们在复数及复函数 方面所做的工作远不止此.D'Alembert在他的流体力学论文关 于流体阻力的一个新理论试论》（Es8a则on a New Theory of the Resistamce of Flid8,172)中，考虑了一个物体经过各向同性的、 无重量理想流体的运动，联系这一研究，还考虑了下面的问题.他 想确定出两个函数p及g,它们的微分是 dq-Mdx+Ndy,dp-Nda-Mdy
in 2 第27章单签变函数 由于量V及M在dp和dg中都出现，故立即推知 (2) 这些方程现在称为Cauchy-Riemann方程.方程(2)是说（第19 章第6节)gdc+pdg和pdc一gdy是某些函数的恰当微分.于是 表达式（我们将用i表示√一工，虽然Dler只是偶尔这样用，到 Gauss才成为普遍的用法.) g+g+(c-ga）-g+p）(a+g） gc+pg-i(mis-9）-(g-p)(c-g） 也是完全微分，从而9+p是+y/的函数，q-p是c一y/i的 函数.D'A1 embert设 (3) g+即=（如+）+就(c+) (④) g-p=(e-)-议（如-）， 其中专和？是有待于确定的函数，在特殊的情形下，d'Alembert曾 把它们确定出来.将(3)及(4)相加并相减，他得出p和q.这一 点的意义是，他表明了p和q是一个复函数的实部及虚部. uler指出了如何利用复函数去计算实积分的值.从1776年 起到1783年逝世时止，他写了一系列论文，这些论文从1788年起 开始发表.其中有两篇是在1793年和1797年发表的.·Dler 指出：名的任一函数，若对=如+侧具有形式M+W,其中M、 N为实函数，那么它对于名=-y,就具有形式M-N.他说， 这是复数的基本定理.他利用这个断言去求实积分的值， 假定 (1)Voa4cta4cad.8ci.Petrop.,7,1789,99~133,1pub.1793=0pera,(1),19, 144;功a,10,1792,3~19,mb.1797=0pera,(1),19,268~286
2.复函数论的开始 3业 (5) Z(②)de=V, 其中名是实的.他令名=心+y,从而V变为P+视.于是 (6) P+视-(M+N(dac+id）, 其中M+N现在是Z(2)的复形式.根据他的基本断言， (7) P.-视-(M-iN)(dc-id）, 所以将实部及虚部分开，就有 (8) P-Mdz-Ndy,Q=Nda+Mdy. 于是，Mdm一Vdy与Wdc+Mdy分别是P与Q的恰当微分，随 之有 (9) 兴-器器 这样在Z(②)中代入名=c+y,“就得到两个函数M和N,它们具 有值得注意的性质：aM/ay=-aN/e,aM/ac=aN/gP与Q 也有类似的性质”.这里Euler强调了一个复函数的实部和虚部 即M和N,满足Cauchy-Riemann方程.但是，他的主要点是利 用积分(8)去计算（⑤），因为P等于原来的V.为将(8)中的积分化 为一元函数的积分，Euler在（⑤）中把=心+y换为z=r(cos9+ Bsi8),并保持B不变.事实上这就是沿着复平面上过原点的一 条射线积分.然后他用他的方法去求一些积分的值. Laplace也使用了复函数去求积分的值.在从1782年起到他 的名著《概率的分析理论》(Theorie analytique des probabilites, 1812)为止的一系列论文中，他象ler那样，把实积分转换为复 积分来计算实积分的值.Laplace要求优先权，因为uler的论文 发表得比他晚.不过，即使是上面提到的1793年和1797年的论 文，就已在1777年三月在彼得堡科学院宣读过.在这一工作中 Laplace附带地引进了我们现在称之为解微分方程的Laplace变
in 4 第的章单复变菌数 换方法 Euler,d'Alembert和Laplace的工作构成了函数论的重要 进展.不过，在他们的工作中有一个本质的局限性，他们依靠把 f(十)的实部和虚部分开来进行他们的分析工作.复函数实际 上不是基本的实体，显然，这些人对于使用复函数还感觉到很不 自然.Laplace在他l812年的书中指出：“这个由实到虚的过渡可 以看作是一个启发式的方法，它象长期以来数学家所用的归纳法。 但是，如果十分谨慎地有约束地使用这个方法，那末所得到的结果 总是可以证明的.”他的确强调，结果都必须验证 3。复数的几何表示 使单复变函数理论的建立更为直觉合理的一个重要步骤是复 数及其代数运算的几何表示.许多人一Cotes,De Moivre,.Euler, 以及Vandermonde-一确实曾把复数看作是平面上的点，这可以 由下述事实来说明：·当他们解方程-1-0的时候，他们都把这 些解 cos 2h短+8in2k远 0 看作是一个正多边形的顶点.例如，Eler把w和y几何地幕 想为坐标平面上的点，用心十@ 代替心和y,然后将x+表为 r(cos9+i血)，再将r和9作 为极坐标画出来。因此可以说复 数作为平面上点的坐标的表示法 1 在1800年就已经知道了.不过， 图27.1 没有作出二者的决定性的同一 化，也没有给出复数的代数运算的任何几何意义.还缺少把c十侧
3,复数的几何表示 5 III 的复函数u+心的值用另一个平面的点来表示的想法. 1797年，挪威出生的自学的测量员Caspar Wessel(1745~ 1818)写了一篇论文，题目是“关于方向的分析表示；一个尝试”，这 篇论文刊载在丹麦皇家科学院1799年的论文集中.Wessel企图几 何地表示出有向线段（向量）以及它们的运算.在这篇论文中，除 寻常的具有实单位1的心轴外，他同时引进了一根虚轴，以W√一1 (他把√一1写为e)作为单位.在Wessel的几何表示法中，向量 0P(图27.1)是在具有单位+1及√一1的平面上从原点0画出 线段OP,这向量用复数a+b√一1表示.类似地，向量OQ是线 段OQ,且是用另一数c+dN-1表示. 然后Wess®l利用以几何术语定义的复数运算来定义向量的 运算.他给出的四种运算的定义实际上就是我们今天所学习的 例如a+bi与c+di的和是相邻两边OP与OQ所决定的平行四 边形的对角线.a+bi与c+d的积是一个新的向量OR,使得 OR与OQ的比等于OP与实单位之比，而OR与c轴的夹角是 OP及OQ与x轴的夹角之和.显然，与其说Wessel将复数与平 面上的点相联系，还不如说他想的是将平面上的点用向量表示。 他把他的向量几何表示法用于几何问题与三角问题.Wes9el的 论文尽管有巨大的价值，但一直未被注意，直到1897年译成法文 重新发表，才被人们重视 瑞士人Jean-Robert Argand(1768~1822)给出了复数的 0 图27.2 图27.3