数学的实践与认识 第27卷 3问题的分析 一、鱼群的基本动态特征进行分析 由于我们已经假设该渔场不会有同种外来鱼的迁移补充,那么渔场内各年龄组鱼 的总数目在一年内都是递减的.其减少的原因有二个 1.各年齡组鱼的自然死亡; 2由于捕捞所引起的“死亡”(捕捞引起鱼条数目的减少) 在此基础上我们来分析鱼群数目动态变化的情况 (qF+M)N(t),i=3,4 dNi (t)__M.N: (t), 其中g3=0.42,q4=1,捕捞与自然死亡有一个相同的效果一使渔场的鱼群条数减少 因此从这方面讲捕捞强度系数又可称为“捕捞死亡率”,捕捞死亡率与自然死亡率之和称 为总死亡率 各龄鱼的条数在各年中的变化情况分析 首先,我们可设在起始各年的年初各龄鱼的条数为N1(0),N2(0),N3(0),N4(0).则在 该年的任何时刻t,N1(t,N2(t),N3(t),N4(t)满足微分方程(1)、(2)式,由此得到 N1(t)=N1(0)e-Mh,0<t<12, N2(t)=N2(0)e-M与 0≤t≤12, N3(t) 0<t≤8 ≤t≤12, M4()={A0)-(M+F/1 <t<8, I N3(0)e-(M+8F)/12 从以上各年龄组的鱼群数表达式可以看出,t时刻某年龄组的鱼群数只与时间t,捕 捞努力量F,自然死亡率M及各个初始值有关,其中会发生变化的只有F,因而我们可 以控制捕捞努力量F,来确定一些有关捕鱼的策略,诸如最大渔获量问题,可持续捕捞 问题 再根据假设2,在年与年交接之处各年龄组鱼的数目和比重将发生突变,即1龄鱼 变成2龄鱼、2齡鱼变成3、3龄鱼变成4齡鱼、幸存的4齡鱼仍旧为4齡鱼,每年 中的3、4齡鱼在9-12月份产卵并孵化成1龄鱼 3、4齡鱼在9-12月份有一部分会在产卵前死亡,我们估计进入9月份以后有 88.3%的3、4齡鱼产卵,其推理过程如下 根据前面的符号约定,L可表示成 N(9) 100%=1-M(0)·cM一F告 N0)e-M各一F占 在这234%的死亡比中,假定其中的一半即117%的鱼是产卵之前死亡的,这样我们就 可以认为有1-117%=83%的鱼在后四个月中会产卵并孵化,而剩下的117%的鱼 自然死亡而不产卵
1期 刘国玲等:最优捕鱼模型 现在,我们完成了对鱼群动态情况的描述,并得到一组表达式反映各年龄鱼的条数 在一年内的连续变化,并说明了前后两年各龄鱼的递变情况 4.模型建立 可持续捕捞的条件及其最大收获量的确定: 从经济效益出发,渔业公司总希望捕的鱼越多越好.但是,任何渔场的渔业资源总 是有限的,过分捕捞必将导致资源的枯竭,因此,我们不能只重短期效益.为了维护生 态平衡,我们在可持续捕捞的条件下求最大的收获量 在上述前提下,我们推导出年收获量的数学表达式 在一年内,3、4齡鱼的减少量包括由自然原因引起的死亡量D和捕捞量C.从 2到t1这段时间内3、4龄鱼的减少量为 E(+,t2)==[N3(t1)+N4t1)-[N3(t2)+N4(t2) 渔获量为 C(t1,t2) 3(1)-Ns(2)]+2[M4(t)-M4t2 自然死亡量 D(t,、MN3(t)-M3(2)+N(t)-M4(2) 这里23,Z4分别表示3、4龄鱼的总死亡率,21=qF+M,(i=3,4).显然 E=C+D 将鱼在一年内的衰减方程有 代入(7)式得 C(1,t2)=23N (t1(1-e-2i(ta-ta 可持续捕捞意味着每年开始捕获时渔场中各年龄组的鱼群条数不变,即实现可持续捕 获应满足的约束条件,可以用数学表达描述 )=2[N3(t)-M(t2)+22[N4t N3(0)=N2(0)e-08 N1(0)=122×101,n/(1/22×101+n) n=1109×105/2·N(0)e-(08+0.42F)x8/12×8.3% 由上述的六个方程组成的方程组可以推导出 N2(O)e-08M1(0)=0449N1(0) N(O)=e-0sN2(0)=0440N2/0→M(0):N20)=M(0)=1:0.44:0.202
数学的实践与认识 第27卷 这表明在可持续捕获条件下,1齡鱼、2龄鱼、3龄鱼的数目比是确定的,我们 消去N3(0)可得N4(0)与F的关系,记为N4(0)=Q(F)它的含义表明一个捕捞努力 量,就对应一个4龄鱼数量.初一看,似乎不尽合理,但是,我们进一步分析会发现 N(0),N2(O),M3(0)与M4(0)都有函数关系,分别记为 N1(0)=F1(0),N2(0)=F2(N4(0),N3(0)=F3(N40) 也就是说对于1个给定的捕捞努力量F,必将对应到1个给定的可持捕捞状态,但是, 这不同的可持续捕捞状态,有不同的年总收获量,其中有一个年总收获量是最大的 我们通过数学件包 MATHMATIC得到,在 N1(0)=1195×101,N2(0)=537×1010 N3(0)=2410×1010,N4(0)=929×10 时,年收获量最大,最大的年收获量C=3.87×101克,此时F=17 这样,我们就知道了对于一个给定的初始条件M1(0),N2(0),N3(0)与M4(0),我们 应通过控制捕捞努力量F,使之达到最大的可持续捕获状态其具体过程如下:如果 N3(0)>206×10条,则我们就按F=17进行捕捞,这样渔场就会自动达到可持续捕 获状态;否则我们在第一年就不捕捞,这样由实际经验可知第二年的4龄鱼数量会增 加,那么,再判断条件N3(0)>206×108是否满足,如此循环下去,最终会达到可持 续捕捞的最高收获量 5.模型稳定性分析 由于实际情况的千变万化,因此我们得到的数据和假定的在实际操作中总存在着微 小的误差,因此一个好的模型绝不能由这些微小变动而导致结果的较大改变 为了对我们所做的模型进行比较全面的测试,同时考虑到实际情况,我们自己设定 些合理的初始条件,利用计算机进行模型检验,得出既满足可持续捕捞条件又尽可能 使渔获量最大的一系列捕捞努力量F
1997年1月 数学的实践与认识 第27卷1期 持续高产捕鱼策略 杜小勇张艳凰郝建国 国防科技大学,长沙410073 指导教师:吴翊 编者按文章将08理解为平均死亡率即0=08或=02,再用 N(365)=N(0)(1-r)365求出日死亡率r=0.00439971.在此基础上建立制约各龄鱼数 量的微分方程和连结条件.从而得到各龄鱼数量的递推公式对给定的捕捞系数用迭代法求 得稳定解,然后用直接搜索法寻最得优捕捞强度系数和相应的最大持续捕捞年产量645万 吨·模型和计算都是正确的·但若将0.8/年理解为瞬吋死亡率更加正确,此时,相应的日 死亡率要小一半左右 摘 本文基于鲲鱼产卵、孵化的突变性和死亡、被捕捞的连续性的假设,建立了鱼生 态系统的微分—差分模型.用数值模拟方法,分析了在各种捕捞强度下系统的稳定状态 并最终利用类似 Leslie矩阵的方法检验了此时确为种群不变的稳定状态.在此基础上,对问 题1),通过对0,1区间所有满足保持稳定状态捕捞强度系数p的搜索,得出使得年产量最 高的最优值p=0.037,对应的年产量为6.44455万吨对于问题2)分别讨论了5年中 p不变和每年p发生变化的两种情况,用逐步求精的搜索法分别求解,得出两种情况下各自 的最优策略,其产量分别为490575万吨和49.6284万吨本文还进一步考虑了模型的改 进,并讨论了以保证最大利润为目标的可持续捕捞策略.数值计算表明我们的模型是相当令 人满意的 、问题的重述 日新月异,以及受短期经济利益的驱使,许多自然资源都受到掠夺式开发,使得自然 捕捞方式这一问题就应运而生.采用何种捕捞方式,才能既保证鱼群的持续稳定发展而 不至于枯竭,又要能提供最大数额的产量,是渔业管理中的一个重要问题 我们现在面临对媞鱼的捕捞策略,设 C1.鱼群按年龄分为四组,称为1龄,…,4龄鱼,平均体重分别为507,115,1786 299(克),各组自然死亡率均为0.8/年 C2.捕鱼期只能在每年的前8个月,后四个月为鲲鱼的集中产卵孵化期,平均每 条4龄鱼产卵1109×105(个),3龄鱼产卵为其一半,卵孵化后成1龄鱼,成活率为 122×101/(1.22×101+n),n为产卵总量; c3.捕鱼采用固定努力量方式,即单位时间捕鱼量与该年龄的鱼总数成正比,比例 系数为捕捞强度系数,捕捞只能捕到3龄鱼和4龄鱼,其捕捞强度系数比为0.42:1 现在问题如下 1)如何实现可持续捕捞,即每年年初各年龄组鱼的数目保持稳定,以及在稳定状态 下,采用何种捕捞强度能使年捕获量最大 渔业公司承包该鱼5年的捕捞业务,开始鱼群分布已知(各年龄组数目分别为
数学的实践与认识 第27卷 12229.7,10.1,329(×10条),该公司应如何决策才能获得最大捕捞总量而不太损害鱼群 生产能力 、模型假设及说明 假设 H1.鱼群死亡和捕捞为连续过程; H2.鱼在第一年9月初集中产卵并在后四个月孵化,来年初成为1龄鱼; H3.每到第二年初,第一年的1、2、3龄鱼各增一岁,但4龄鱼退出鱼群系统 4.平均每条鱼的产卵是理解为对所有鱼的平均,故在计算总产卵时,不考虑雌 说明: A1.C1中,各组鱼年平均死亡率为0.8/年,折合为日均死亡率为1-0 0.0043991/日; A2.H3中,由文[2介绍,鋹鱼寿命一般为3年,故认为4龄鱼到年末便自然死 、问题的分析 本系统具有如下特点: 鲲鱼的产卵量大,死亡率高,在这两个因素下,使得在一般条件下1龄鱼数目较 稳定,事实上,第t+1年1龄鱼产生的数目为 M1(t+1)=nx存活率=122X10×n 1.22×101 122×101 =1.22×101(1- 1.22×101 由于n》1.22×101,故当n变动(亦即M3(T),N4(T)变动)时,(甚至变动一个数量级) N(t+1)反应并不敏感,从种群延续的观点看,餛鱼对于捕捞量是有一定适应力的 2.从目前的捕捞方式可知,当年捕鱼产量只由3、4龄鱼决定,1、2龄鱼不受 捕捞影响,这也保证了种群的延续 3.当捕捞强度系数发生变化时,鱼群中各年龄组的鱼的数目会发生变化,即产量 会发生变化,鉴于1、2特点,在一定捕捞强度范围内,鱼群会趋于新的稳定点,形成 种持续捕捞的局面,但不同稳定点产量不一致 4.注意到在无捕捞时,M1(t)→1.22×1031(t→∞,N2(t)=0.2N1(t),N3(t) 0.04×N1(t),N4(t)=0.008M1(t),这种年龄组分布我们称为自然状态 四、符号说明 M;(t,8):第t年第8天i龄鱼的数目,i=1,2,3,4;s=1 p:4齡鱼的捕捞强度系数; r:日均死亡率; g:每年4龄鱼产卵量 n:每年3、4龄鱼产量总量; NS:达到最大持续捕捞量时讠齡鱼数目; MS;:自然状态时i龄鱼数 Total:5年合同期内最大总捕捞量;