第20卷第5期 工程数学学报 Vol.20 No.5 2003年03月 JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS Mar.2003 文章编号：1005-3085(2003)05-0057-08 车灯线光源的优化设计模型 张作启，韩芳，陈焰周 指导老师：陈士华 (武汉大学，武汉430072) 编者按：本文的一个优点是运用空间解析几何知识和光学成像原理，结合计算机搜索方法，按照经过B点或C点的反射 线条数，分别对线光源进行分段。不少答卷也做了类似的工作，此文是其中较好的一个（但结果还不够完整）。 第二个优点是，对B点或C点，分段讨论功率和线光源半长的关系并图示，从而得到线光源最优长度。虽然推理 不甚严密，但直观。不足之处是：没有考虑辐射照度（即本题的功率密度）的余弦定律；对距离平方反比定律的使 用是否合适也缺乏依据；亮区精度不够。 摘要：本文首先研究了车灯线光源上各点有效投射点集合变化的规律，进行了合理的区城划分；在此基础上，建立了问 题的最小化模型，然后通过数形结合的方法，解得线光源最佳长度1=3.8mm和相应最小功率Pm=7210。在此 最佳长度下，利用平面镜成像原理和Malb软件，采用“模拟散斑”的方法，给出了反射光的亮区图形。该模型筒 单直观，亦可推广应用于太阳能热水器、电视机接收天线等相似领域。 关调：优化设计模型；线光源；最佳长度；最小功率 分类号：AMS(2000)49K35 中图分类号：0224 文献标识码：A 1问题的重述（略） 2问题的分析 线光源任意一点发出的光，可直接照射在光屏上，也可以经过灯罩（旋转抛物面）一次反 射（不考虑二次反射）后，间接照射在光屏上。线光源上不同位置的点发射的光线投射到抛 物面上，反射后能够到达指定点的投射点的集合（称为有效投射点的集合）是不同的。因为 线光源过焦点对称水平放置，线光源上点的位置分布仅与长度有关，因此在满足设计规范要 求的条件下，寻求线光源功率最小，线光源长度是决定因素，而弄清线光源上各点有效投射 点的情况，则是解决问题的一个关键所在。 3模型的假设 1)不考虑光的二次反射。 2)不考虑光的折射。 ©1995-2004 Tsinghua Tong/ang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved
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工程数学学报 第20卷 3)不考虑光的干涉和衍射。 4)光在传播过程中不吸收新的能量,仅考虑光的扩散 5)光在同一连续均匀介质中(例如空气)传播。 6)灯丝为理想线光源,没有横向尺寸,不考虑灯管遮光。 7)旋转抛物面可认为由无数微小平面镜组成,人射光发生完全镜面反射,旋转抛物面 不吸收能量。 4符号说明 a:入射光线、法线、出射光线所决定的平面 B:过P。作得的旋转抛物面的切平面 P0(x0,y0,z):旋转抛物面上任意一点 P1(x1,y1,z1)线光源上任意一点 P2(x2,y2,z2)线光源上任意一点P关于B的对称点 Pn(x。,ym,zn):P1P2的中点 M、N:线光源的两端点 L:旋转抛物面过P0点的法线 L2:旋转抛物面过P0点的切线 lB:B点的光照强度 le:C点的光照强度 P线光源的功率 其它符号均沿用题目所示 5模型的建立 如(图1)所示按照右手螺旋准则建立空间直角坐标系(单位:mm),根据已知数据可以求 出旋转抛物面的方程为x2+z2=60y,焦点F(0,15,0),A(0,25015,0),B(1300,25015,0), C(2600,25015,0),P1(x1,15,0),Pn(xn,yn,zn)。 切平面的方程 P(xn,ym,zn)满足切平面方程,即; o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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车灯线光源的优化设计模型 2-y0/+2a2 -60(y+y2 入射光线 P,Po=1xo-xI, yo 法线 反射光线 PoC={2600-x0,25015-y0,-z 由反射定律,入射光线P1P,法线L1,反射光线PC在同一个平面a内,则由向量的知识, 三向量的混合积为0,可得到 [(24985-y0)x1+2600y+390000=0 (2) P0(xo,yo,xo)在抛物面上,满足 x2+zb=60y,(-36≤x≤36,-36≤x0≤36,0≤y≤21.6) 分析(2)式 当z6≠0,而[(24985-y0)x1+2600y+39000=0时,得到 4985x1+39000 y0=-x,-2600 得到0≤y0≤216,求得-3.81≤x1≤-1.56,即仅在线光源上满足-3.81≤x1≤-1 56的点发出的光经过抛物面上z0≠0的点反射后可经过C点。 2)当z0=0,反射点位于用x0=0平面截旋转抛物面所得的抛物线上; 以上分析仅是反射光线过C点的必要条件,但给出了线光源上点的初步划分,大大缩 了讨论的范围,为保证区域划分的准确性,需要再通过计算机变步长搜索的方法来加强该 结论。 下面,利用虚像P2反射点P、光屏上点C三点共线的条件,以x1为变量分别表示出 x0,y0,20,再利用Malb对x1进行变步长搜索,找出有效投射点集合的变化规律进一步 完善上述结论。具体步骤如下 由平面解析几何知识,平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,显然P1P2∥L1 则即 P1P2xL1=0得到 (5-y2)20-32]i-【(x,-x2)2+2x+[-xx1-x2)-(15-y1)xo]k=0(3) 联立(1),(3),得到 x1x2+900x1+x2+2x3+900x。+2x。z-60xy 15(4xox1-3x2-900+120y0-3z) (4) x+900+x0 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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工程数学学报 第20卷 反射光线能经过C点的充分必要条件是P0、P2、C三点共线,因为 P2P={x0-x2,y0-y2,-42},CP。=12600-x,25015-y,-z0}, 所以P2P。×CP=0 得 )(25015-y0)=0 (x。-x2)z+(x0-z2)(2600-x)=0 (5) 联立(4),(5)可以得到以x1为变量表达的P0(x,y,z0)的值,对于任一给定的x1,根 据P值的有效个数即可确定有效投射点的个数,从而校验线光源区段划分的正确性。(附变 步长搜索结果,见附表1)。即线光源有如下划分 1)当x1>-1.56时,没有反射线经过C点; 2)当x1=-1.56时,有2条反射线经过C点; 3)当-3.81≤x1<-1.56,有4条反射线经过C点; 4)当x1<-3.81时,有2条反射线经过C点。 同理当反射光线经过B点时亦可进行相同分析,划分如下(搜索结果见附表2) 1)当x1>-0.78时,没有反射光经过点B; 2)当-1.9<x1<-0.78时,有4条反射光经过点B 3)当x1<-1.9时,有2条反射光经过B点 很显然,以上对线光源的分段对应着不同的积分域,欲求B、C点的光强度,只需对点光 源的功率分段积分求和。 记线光源的功率P线光源长度2a,设从线光源上任意一点经过反射或直射到达指定 点的总光线条数为k,对应的每条路径的长度为4=y+y4则可以建立如下模型 min P= P(a) Pdx 3 6模型的求解 6.1问题一的求解 对于上述模型中的y;,由于y与y,数量级相差很大,如图1所示,故可近似认为y 而y2=d2+( 下面先讨论在满足C点条件时,线光源长度2a与P的关系 由于第五步中已经求出 1)当x1>-1.56时,没有反射线,只有1条直射线,k=1。 2)当-3.8<x1<-1.56,有4条反射线,1条直射线,k o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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第5期 车灯线光源的优化设计模型 3)当x>-3.8时,有2条反射线,1条直射线,k=3 故对线光源半长度a作以下分类讨论 1)当a≤1.56时,1=].87a+(一)d≥1 对等式右边进行积分和一次泰勒展开,可求得此时,P≥4π(d2+k2) 2)当156<a≤3.8时 156 dx dx≥1 可求得 P≥6a-6 3)当a>-3.8时 P 5P d 388ar[d2+(k,-x)丁 3P 8ar[a+(k。-x)2丁 dx s 1 可求得 对B点进行相似处理,由于 1)当x1>-0.78时,只有直射光,经过B点k=1 2)当-1.9<x1<-0.78时,有4条反射光,1条直射光,经过B点k=5 3)当x<-1.9时,有2条反射光,1条直射光,经过B点,k=3 处理结果如下 1)当a<0.78时,P≥8丌(d2+k2) 2)当078<a<1.9时,P 16xa(d2+k) 16ra(d2+k2) 3)当a>1.9时,P≥4a+0.68 由于d2+k2=62669000 d2+k2=631760000 令4x(d2+k2)=A,则8r(d2+kb)=1.98A 则分别对点B,C,a、P关系如下 C点 1)a<1.56时,P≥A 1)a<0.78时,P≥1.98A 2)1.56<a<3.8时,P≥6a26242078<a<1.9时,P≥64-3124 3)a>3.8时,P 2 3)a>19时,P≥4a+0.68 将上述关系,用图形表出,如图2所示。 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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