数学的实践与认 数模比赛 第2期 1993年全国大学生数学模型竞赛 姜启源 清华大学应用数学系,北京100084 1993年全国大学生数学模型竞赛10月15日至17日在北京、上海、西安、武汉、广 州、重庆、南京、大连、长沙、太原等二十多个城市举行,来自全国101所高校的机械、电机 化工、土木、自动化、计算机等工科专业,数学、物理等理科专业(含师范院校)及经管类专 业的近1300名学生组成420多个队参加了竞赛.竞赛中涌现出许多优秀答卷,全国11个 赛区共评出特等奖11名(队),一等奖48名,二等奖104名.12月3日在北京举行了颁奖 仪式 国家教委的负责同志十分关心这项竞赛,亲临现场视察并出席颁奖仪式,充分肯定数 学模型竞赛在开拓学生的创造性、培养协作精神等方面的积极意义,决定与中国工业与应 用数学学会一起,在更多的高校推广这项活动,办成面向全国大学生的一项大奖赛 1993年的竞赛有两道题,一道题是从卫星通讯的频率设计中的一个科研课题简化加 工而成,另一道题是根据若干支球队历史上的战绩,设计一个反映诸队实力的排名次的算 法。丁面除刊登赛题及获北京赛区特等奖的两篇优秀论文外,还特请两位命题,评阅人撰 文发表,希望起到与众多的参赛者交流的作用,并使关心这项竞赛的同志们对它有更多的 了解。 1993年全国大学生数学模型竟赛试题 A题非线性交调的频率设计 如果一非线性器件的输人“()与输出y()的关系是y(t)-t)+n2(t)(其中 是时间),那么当输入是包含频率f1,f2的信号u(t)=cos2mf1t+cos2mf1t时,输出y(t) 中不仅包含输入信号f1,f2,而且还会出现2f1,f2±f2等新的频率成分,这些新的频率 称为交调,如果交调出现在原有频率f1,f2的附近,就会形成噪声干扰,因此工程设计中 对交调的出现有一定的要求 现有一SCS(非线性)系统,其输人输出关系由如下一组数据给出: 输入 5 输出y 02.256,8020,1535.7056.4·75,1087,8598.5 7·
输人信号为u(t)A1cos2rfn+A2cos2xfx+Acos2xf,,其中A-25,A2=10, A,45是输入信号振幅,对输人信号的频率f1,f2,f,的设计要求为 1)36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f≤53 2)输出中的交调均不得出现在f±5的范围内(一1,2,3),此范围称为f,的接 收带(参见下图) B(信号振幅) Cn(交调振幅) =-6f-5 ∫1+5后+6 接收带 3)定义输出中的信噪比SNR=100B(单位:分贝),其中B,是输出中对应 于频率为f的信号的振幅,C。是某一频率为f的交调的振幅.若f。出现在f一f±6 处(1,2,3),则对应的SNR应大于10分贝(参见上图) 4)f不得出现在f的接收带内(i,-1,2,3,≠j) 5)为简单起见,,只取整数值,且交调只考虑2阶类型(即f;±,,-1,2,3)和 3阶类型(即t±f},j,-1,2,3) 试按上述要求设计输入信号频率f1,f2,f B题足球队排名次 下表给出了我国12支球队在1988-1989年全国足球甲级联赛中的成绩要求 1)设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法,并给出用该算法排名次的结果 2)把算法推广到任意N个队的情况 3)讨论:数据应具备什么样的条件,用你的方法才能够排出诸队的名次 对下表的说明 1)12支球队依次记作T1,T2,…T1 2)符号X表示两队未曾比赛 3)数字表示两队比赛结果,如T,行与T列交叉处的数字表示:T,与T比赛 了2场;T,与T的进球数之比为0:1和3:1
T T :01:03:1 1:32:14:0I:1Xx 0:00:21:0 10:01:10:0Xx 1:30:0 !2:32 0:0 2:30:1 2:31:30:01:1Xx 0:1 1:00:1 XX 2:13:13:12:0 0:01:02:2 2:00:1 1:02:0 X1:2
非线性交调的频率设计—A题 檀晋轩邢毅春郝燕 指导教师王尚志张饴慈汤玉东 (首都师范大学数学系,北京100037) 摘要本文讨论了A题给出的一类非线性交调的频率设计问题.首先根据题中给出的数 据用最小二乘法求出适合木题要求的输入输出函数,设计出一种简沽算法用计算机求出了适 要求的解,然后对解的稳定性进行了讨论,本文的最后一都分,对解的各种数学性质做了进 步讨论,证明∫本文主要结果:给出了适合本题罢求的解的充分必要条件(定理1).应用 这一结果可以直接求出适合本题的频率约束的解 问题的提出 1.背景在信号的输人输出工作过程中,人们往往過到噪声干扰问题,干扰一方而 来自系统的外部,另一方面可能来自非线性系统输出过程中产生的新频率,称之为交调, 为直观起见我们看一个例子 设有一非线性器件,其输入“()与输出y(a)的关系是:y(t)=“(t)+n(t)(为时 间),当输入是包含频率f,2的信号“(t=cos2xf1+cos2x1时,输出信号 o-1+cos 2xf, u+ cos 2xf, +i cos 4f L +I cos 4f, i+ cos 2(,+f)r+cos 2r(fn -f2)u. 我们发现y(t)中不仅包含f,2,而且含有±f(i,-1,2)等新频率,即为交调,若交 调出现在f1,f2附近时,会对f1,2产生于扰,为此,在工程设计中要求对输人信号选择 适当的频率配置,防止交调对倍号的干扰 2.问题现有一SCS(非线性)系统,其输入输出关系郊下 输人a 80 输出y 02,256.8020.1535 56,4075.1087,8598,50 输入信号:“(t)=A1cos2rf1+A2cos2rf2+l3cos2mf12, 其中A1=25,A2=10,A1=45是输入信号的振幅
对输人信号的频率设计要求为 1)输人信号频率范围36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f≤53, 2)输出中的交调均不得出现在f±5的范围内,(=1,2,3),此范围称做f;的接 收带,若交调出现在f±6的范图之外,其影响忽略不 3)东不能出现在f的接收带内(i,一1,2,3,*i) 4)定义信噪比SNR·10g(单位:分贝) 其中B;为输出中对应于f的信号的振幅(i=1,2,3)C,为某一频率为f,的交 调的振幅 当f。出现在f。-f±6(i=1,2,3)处,它巳不在f的接收带内.由于距f的接收 带很近,此时要通过信噪比对f。进行讨论,当SNR>10分贝时,我们认为f对f;产 生的干扰可忽略不计,否则fn仍对f;有千扰 5)在实际工作中,(1,2,3)的取值是一切可能的非负实数,对于不同的输人 输出关系也会有不同的交调类型。为简化过程,本问题只取f;的整数值,且交调只考虑 二阶类型(即{1±f}i,-1,2,3)和三阶类型(即钻土±},,,=1,2,3),现在 我们的目的就是根据上述要求设计f1,t,3的取值 二、问题的分析 首先要确定输入、输出函数,一般情况下总是先选取多项式函数来描述输入、输出关 系的,我们基于以下两点确定多项式函数最高次数的.第一,从输人的形式(1)可以看 出,交调是由于对“()进行乘方运算而产生的,n(r)可能产生某些≤k阶类型的交调 而问题仅要求我们考虑二阶和三阶类型的交调,最高次数一定是≥3的;第二,当我们选 用≥4次多项式函数进行拟合时,≥4次项的系数非常小,以致不会对结果产生影响,这 点可以从后面稳定性分析中确切地体现出来.故我们确定输人、输出函数关系为 y(r)= b.+ bu(r)+ b2u(2)+bu(o) 根据题中数据用最小二乘法便可以确定的系数 三、模型假设 我们认为系统外的千扰忽略不计 2.对于(t)次数大于等于4时带来的交调影响忽略, 对于拟合出的多项式,对自变量为负的部分也是正确的 四、模型的鹭立与问题的解 1输出函数系数的确定根据前面分析,输出函数为以下形式: y()-b+b4(t)+b2x2()+b3(t) 从实际所给的数据,可以得出y(0)=0.因此上式可化简为