首都师范大学：非线性交调的频率设计

非线性交调的频率设计 (酿AEQ 檀晋轩邢毅春郝燕 (首都师范大学数学系,北京100037 指导教师王尚志张饴慈汤玉东 摘要本文讨论了A题给出的一类非线性交调的频率设计问题首先根据题中给出的 数据用最小二乘法求出适合本题要求的输入输出函数,设计出一种简洁算法用计算机求出了适 合要求的解,然后对解的稳定性进行了讨论.本文的最后一部分,对解的各种数学性质做了进 步讨论,证明了本文主要结果:给出了适合本题要求的解的充分必要条件(定理1).应用这一结 果可以直接求出适合本题的频率约束的解 问题的提出 1.背景 在信号的输入输出工作过程中,人们往往遇到噪声干扰问题,干扰一方面来自系统的外 部,另一方面可能来自非线性系统输出过程中产生的新频率,称之为交调,为直观起见我们 看一个例子, 设有一非线性器件,其输入u(t)与输出y(t)的关系是:y(t)=a(t)+u2(t)(t为时 间),当输入是包含频率f1,f2的信号a(t)=cos2rf1t+co2rf2t时,输出信号 y(t)=1+cos2 fit+ cos2xf2t+cos f,t +1s4xt+m0x(/f+n2)t+2r(1-)t, 我们发现y(t)中不仅包含f1,f,而且含有/±f(i,=1,2)等新频率,即为交调,若交调 出现在f1,f2附近时,会对f1,2产生干扰.为此,在工程设计中要求对输入信号选择适当的 频率配置,防止交调对信号的干扰 2.问题 现在一SCS(非线性)系统,其输入输出关系如下 输入u 30 输出y0256.80-20.1535.7056.4075:1087859850 内带穿立出甲 输入信号:a(t)=A1cs2f1t+A2.2/2t+A3o.2r贝,里单面(e 其中A1=25,A2=10,A3=45是输入信号的振幅,(+生四) 对输入信号的频率设计要求为 1)输入信号频率范围36≤f1≤40,41≤∫2≤50,46≤∫3≤53 2)输出中的交调均不得出现在f±5的范围内,(i=1,2,3),此范围称做f的接收带 若交调出现在f±6的范围之外,其影响忽略不计

非线性交调的频率设计 3)f不能出现在f的接收带内(i,=1,2,3,i≠j).,面 4)定义信噪比SNR=10g(单位:分贝) 其中B1为输出中对应于的信号的振幅(i=1,2,3),Cn为某一频率为fn的交调的振 幅 当出现在fn=f±6(i=1,2,3)处,它已不在A的接收带内由于距的接收带 很近,此时要通过信噪比对f进行讨论当SNR>10分贝时,我们认为fn对f1产生的干扰 可忽略不计,否则f。仍对f有干扰 5)在实际工作中,f(i=1,2,3)的取值是一切可能的非负实数,对于不同的输入,输 出关系也会有不同的交调类型为简化过程,本问题只取f的整数值,且交调只考虑二阶类 型(即f±f,,=1,2,3)和三阶类型(即1f±f±f,,j,k=1,2,3).现在我们的目 的就是根据上述要求设计f1,f2,f3的取值 问题的分析 首先要确定输人输出函数,一般情况下总是先选取多项式函数来描述输入、输出关系 的我们基于以下两点确定多项式函数最高次数的第一,从输入的形式a(t)可以看出,交 调是由于对u(t)进行乘方运算而产生的,a(t)可能产生某些≤k阶类型的交调而问题 仅要求我们考虑二阶和三阶类型的交调,最高次数一定是≥3的;第二,当我们选用≥4次 多项式函数进行拟合时,≥4次项的系数非常小,以致不会对结果产生影响,这一点可以从 后面稳定性分析中确切地体现出来故我们确定输入、输出函数关系为 y(u)=b0+ biu(t)+b2u2(t)+63u3(t). 根据题中数据用最小二乘法便可以确定的系数 三、模型假设 1.我们认为系统外的干扰忽略不计 2.对于a(t)次数大于等于4时带来的交调影响忽略 3.对于拟合出的多项式,对自变量为负的部分也是正确的 四、模型的建立与问题的解 1.输出函数系数的确定 根据前面分析,输出函数为以下形式 y(r)=bo+6u(r)+b2u2(n)+bu(o) 从实际所给的数据,可以得出y(0)=0因此上式可化简为 y(t)=b1(t)+b2x2(t)+b3a3(t), (1) 为确定(1)式的系数,分别视x(1),x2(t),n3(t)为三个变量,x1(),X2(t),x3(x),用最 小二乘估计对y(t)进行三元回归 9=∑(y=b1x1-b2x2-b3x)

全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 9对b1,b2,b3分别求偏导,得到b1,b2,b3使(2)最小,组治 21-一h2x1一的x可=0, b2∑x2.-b3∑ (3) 由所给数据解方程组(3),得出系数b1,b2,b3 b1=0.237897, b2=0.0455449 (4) b3=-0.00041445 故 y(t)=0.237897a(1)+0.045544942(t)-0.000414453(1) (5) (5)式即为y(t)的表达式,同时,我们又用 Mathematica软件对题中数据进行函数拟 合,所得结果与上式精度十分接近,可见(5)式是较精确的 2.交调频率 (5)式确定了y(t)与a(t)的关系及有关的交调频率,为此,可以将u(t)的具体表达 式(t)=∑Ac2xft代入(5).在化简过程中,出现了以下形式的频率和交调: f,i=1,2,3;f±,t,=1,2,3;f±f±东,,j,k=1,2,3 由题目所给条件(1)可知f±f(i,=1,2,3),f+f一f(i,,k=1,2,3)及f f-f(i,j,k=1,2,3,j≠k),都远离可能对f产生干扰的频带[30,61],即它们对输入频 率∫(i=1,2,3)不会产生干扰,例如 61<36+41<几+<后++1(,k=12,3) f-f-≤55-36-36<30(i,j,k=1,2,3) 因此讨论时,可不考虑含有这些形式的交调的项,而只对出现在[30,61]频带中的形如 f+f一f(i,j,k=1,2,3)的输入信号和交调项进行讨论,这些交调分别为 ②f1+/3-f2,③2+/3-f, ④2f1-f2 ⑤2f1-f3, ⑥2f2-f1,代出健 (6) ⑦2f2-f3 ⑧2/3f1,)⑨2f3-/2 这样得到了y(t)中有用的各项的振幅 ①含有频率f的振幅B(i=12,3)、B1=b141+26∑A2 ②含有三阶交调∫+f-f(,,k=1,2,3,,),k互不相等)形式的振幅均为C= b3A1A2A ③含有三阶交调2-f(,=1,2,3,≠形式项的振幅为:3b3AA

非线性交调的频率设计 3.算法 为了确定所求的解,我们用条件4)中的信噪比进行挑选又由条件5),f只取整数,这 样我们通过计算机得出其离散解按以下三步进行 ①对f1,f2,f3在互不影响的情况下进行穷举,讨论所有可能的整数值 ②对交调进行判断即:使满足条件①的f,f,f的形如(6)式中形式的交调f。不能 进人任一个f(i=1,2,3)的接收带 655 455 ③运用第一节中条件4),即对满足以上条件且fn=f±6的交调,用信噪比条件进行 筛选 于是得到如上表6组结果满足条件①②,经过条件4)的筛选后,只有两组解为最终结 果,即:①36,42,55②36,49,55由结果看出,f1,f3均取其边界值,而f2的取值为分别距 f,/为可能取到的最小距离 五、稳定性分析 1,函数系数的稳定性分析 这里我们讨论所拟合的多项式系数的波动对解的影响,共有6组结果满足(6)形式的 交调,其中4组不合乎信噪比的要求,2组是满足的,即我们要确定各系数的变化范围,使解 仍是解,非解仍是非解.经过计算得到以下3组不等式组 b1+ eb b3AA2>0,应 4b1+b3)-9063A243>0, (I) 16b1+ (+2)-904>0 b1+3}m3)-906(A2A3)2>0, (Ⅱ) (+号)908)0

全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 b1+3m3)-90b(A1A2)2> ,原只 44+2)-90(A2A)>0,(m) 90b3(A1A3)2≤ 其中e 当 1=0.237897,b3 0.00041445 b1=b1+1,b3=b3+a3时, 上式中 bI+seb b1+b3+2{b1+3b3(1 eo 上述δ的区间,即为方程系数的波动范围.当系数在此范围内波动时,我们的结果是稳 定的, 2.关于输出函数中高次项不影响结果的分析 由于本題仅要求考虑二阶、三阶类型的交调,高于4次函数项亦可能产生这种类型的交 调,但由于高于4次项的系数非常小(其量级《10-5),故对于某个项要讨论的交调,由高于 4次多项式输出函数所产生该交调的振幅,相对3次多项式输出函数所产生该交调的振幅的 变化在我们讨论的稳定范围之内,所以仅考虑三次多项式函数是足够精确了 3.输入频率的微小波动不影响结果的分析 在本题中,我们所得到的输入频率的解都是整数解,但应该考虑到,在实际发射时,由于 系统误差及偶然误差,很可能使输入的频率发生微小的变化,根据第六节中的定理1可知这 些微小的变化对结果是没有影响的.也就是说,我们得到的这些解组是相当稳定的 六、理论归纳与推广 1.结果分析 我们从上面得到的一系列结果中发现了一些有趣的问题例如:满足条件①②的频率 组有六组 (36,42,55),(36,49,55),(36,42,54), (36,48,54),(37,43,55),(37,49,55) 每一组频率中最大频率与最小频率之差是大于或等于18的,并且第一、二组,第三、四 组第五、六组分别是关于最大和最小频率的中间值对称的如:(36,42,54)与(36,48,54) 是关于 36+54 45对称的 另外,我们在检验数据时还发现,求满足要求的频率组的各个限制条件不是彼此独立 的,其中1f-f1≥6(i≠j),和1f1+f3-f2-21≥6是关键的因素为此,我们从理