1997年1月 数学的实践与认识 第27卷1期 最佳捕鱼策略的数学模型 黄成涛张耀新沈廷虎 (武汉水利电力大学,武汉430072) 指导教师:汪长平 编者按本文的数学模型提法清楚.相对于捕捞强度递增的不同予测值,对鱼群变化进行动 态模拟,以求得到稳产,这不失为一种有启发性的处理方法但由于未能对捕捞量一捕捞 强度函数进行更为精确的解析或数值研究,结果未能达到最高产 -、问题的分析 原问题实质上是明确或隐含地给出各年龄组鱼群转化的规律,并给出它们的自然死 亡率及鱼产卵的时间分布,并固定每年投入的捕捞能力(如鱼船数,下网次数)及3 4龄鱼捕捞能力的比值,要求选择一定的捕捞能力系数,使得各年龄组鱼量在各年开始 捕捞前条数不变,或5年内鱼群的生产能力不会有太大破坏,并在此条件下,得到以重 量计的最大捕获量 下面给出文中所用的主要变量说明 8-表示(t+1)年i龄鱼的数量(a=1,2,3,4;t=0,1,2,3,4) k一表示对4龄鱼的捕捞强度系数(3龄鱼为042k) G--表示所捕捞鱼的重量; Uy-表示(+1)年对i龄鱼的捕捞重量(i=3,4,j=0,1,2,3,4) n-3、4龄鱼产卵的总数. 模型设计与求解 1.可持续捕捞渔业优化模型的建立 为了求解鱼量稳定情况下的最大捕获量,我们把捕鱼能力系数k作为一个关键的 控制变量,通过建立各相关量与k的关系,以求能最终根据稳定情况下的最大捕获量 条吽求得一最佳的k值,并由此得出最优的可持续捕获的渔业捕获模型 1)一般情况下,各龄鱼的数量须经过一段时间,才能达到一个稳定的状态.即到平 衡年时,年末和年初的各龄鱼的数量基本不变 设a为各年龄鱼的自然死亡率(表示单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比) 在t→t+△t的△t时段内,根据死亡率的定义,则有 (t)-s(t+△t)ds(t)1 8(t) 变形得 ds(t) d t-ca(t)
数学的实践与认识 第27卷 积分得 s(t)=8(0)e-ot (4.1) (4.1)式表示无捕捞时,鱼群数量s随时间变化的规律,考虑有捕捞情况下,则有 ds(t) +k)(t) 积分得 s(t)=(0)·c-(+k 设年初各龄鱼群数量分别为1o),820,830,840,八月末,经过捕捞及自然死亡后的各龄鱼 群数量为s,s3,s,十二月末,各龄鱼群数量为s1,s2,s3,s4卵的总数量为n,则由 (4.1)、(4.2)式,t按年计算,有 18月,为捕捞季节,经过捕捞及自然死亡,八月末,各龄鱼群数量为 s s s=8:30·c-(0.8+0.42)x2/3,=840·c-08+)×2/3 9-12月为产卵季节,此期间不捕捞,则十二月末,各龄鱼群数量为 s s3=s·e-0.8×1/3=830·e-09,e-042x2/3 84=“·e-0.8×13=840·e-0.8.c-k×2/3 再设83,54分别为3、4龄鱼在产卵期的平均数量,n为3、4齡鱼产卵数量的总 和,t按月计算 83 e-0.8-t12d=4 (1-e-08/), so.s ·(1-e03) 产卵期产卵总量n=是3a+54a(其中a为平均每条4龄鱼产卵个数)设81,21,831,51 表示第2年各龄鱼的数初值,则有 1°1齡鱼由卵孵化并成活下来的那部分卵子转化而成,即 311=n×1.22×101+n 0.42k一 22×10 (44) 6×(1.22×101+16a×(1-e-)(3-042×3930+2·e-·840)e-08 22龄鱼由上一年龄鱼转化而成 0.8 3°3龄鱼即上一年末2龄鱼 (4.6)
期 黄成涛等:最佳捕鱼策略的数学模型 4°4齡鱼即上一年末3龄鱼 841=83=830 08-042k×2/3 (4.7) Fs 3×a×(1-e-0.()(e-042kx213)e-081.22×101 16×1.28101+3160(1--08/)(e-04282+2:e,mo)e 16×1.22×101+1.6 a×(1-c-083)(c-042×2330+2·e-,80)e-08 设向量 /810 则可表示为 F F 若令向量 0 0 F 0,8 00c-0.8-042k×2/30 则可表示为A·s=81,A称为“射影矩阵”,对于一种可捕获的鱼来说,设其捕获量为 P(一年内),初值(0)则P可表示为 8(0)·e-0.)dt k·s(0) e-(0.8+)3 08+k 上式中积分号内表示捕捞期(8个月,3年)内该种鱼经自然死亡和捕捞双重淘汰后的 总量.由k的定义,单位时间捕捞量与总量的比值,则上式就表示该种鱼在一年内的捕 捞量 故1-8月,捕捞三龄鱼的数量 P1 捕捞四龄鱼的数量 P2 0.8+k
数学的实践与认识 第27卷 设每条三龄鱼的质量为m1克,每条四龄鱼的质量为m2克,则年捕获的鲲鱼的总量 G=P1×71+m2P2 为使获得最大抽捞量,且使鱼群数量稳定,若从矩阵A的特征值λ1=1来计算k 值是行不通的,因为F3=F3(830,40),F4=F4(s30,.s40),故矩阵A是逐年变化的.为 此,我们采用A·s=s1的关系,采用计算机模拟的办法,来根据所计算数量,以及 捕捞量最大的原则来选取k值,现用题中第2问中数据作为初始数据来说明模拟方 其具体算法如下 1)先定k值; 2)根据(44)-(47)式分别算出s1,.21,.31 3再把1,s21、83,s41作为第二年捕获前的初值,重复(2),根据(44)(47)式分别 算出下一年的s12,s2,32,42; (4)重复(2),3当计算到年初与下年末的各龄鱼群的数量一致时,即鱼群稳定为止 根据(4.8)式,用稳定年的各龄鱼群的数量,算出年捕获量; 另定k值,重复(1)-(4) 6根据年捕获量最大的原则来定k值; 已知数据及计数结果 101,s20=29 10.1 2结果列表如下 总捕获量G(×102q)k总捕获量G(x102g 0.02165 0.5 0.3248 10.0 0.3674 12.2 0.3761 14. 15,50 0.38496 15.6 0.38502 38515 160 0.38518 038519 0.38519 16.4 0.38517 0.3848 由表可知当k<16.2时,捕获量G随k的增大而增大,当k>16.2时,捕获量G 随k的增大而减少,故取k=16.2.其稳定年的捕获量G达到最大值 G=0.3852×101 G的计算公式见(48)式
1997年1月 数学的实践与认识 第27卷1期 最优捕鱼模型 刘国玲屈华波郏群英 (武汉汽车工业大学,武汉630044 指导教师:彭斯俊 编者按本文利用微分方程建立了鱼群演变规律的模型根据题意作者作了些补充假设,并 根据假设导出在持续捕获前提下,年捕鱼量的公式,并且确定出最佳捕捞努力量及最佳捕鱼 量本文不足之处:建立的微分方程(3)只能适应一年的前8个月,在后4个月应是另 个方程 摘要本文就渔场捕鱼策略问题建立了一个决策优化模型.该模型既考虑了鱼群变化的 年内连续性又考虑到年间离散性,在保证“持续捕捞”的前提条件下,使渔获量达到最大 在分析过程中,我们拓宽了鱼群“死亡率”的含义.它包括“自然死亡率”和由于捕捞 而引起的“死亡率”两个方面,我们把后者定义为“捕捞死亡率”,这种处理方法给我们解决 实际问题带来了极大的方便 依据群体指数衰减规律,我们提出了实现可持续捕获的条件,得到一个比较稳定的捕捞 强度系数,并通过计算机模拟验证 模型的重要结论是:达到年收获量最高的捕捞强度系数F为17,收获量为387×108 千克/年,渔业公司在5年内的最高总收获量为1.59×109千克 1.问题的假设 本年产的卵孵化成活后在下年年初都成为1齡鱼,对于上年存活下来的4龄鱼 仍视为4龄鱼,且忽略其体重的变化 2.捕捞不会对各龄鱼的自然死亡发生影响 3.不考虑实际环境的突变而导致鱼群死亡率的变化 4.忽略单个鱼的体重在一年中的增长,只考虑平均体重 5.在打捞过程中忽略其它鱼种的存在对打捞的影响 渔场内鱼的分布均匀,打捞量只与下网次数与鱼群总数有关,而与下网地点无 关 7.渔场与外水域隔离,因此不会由于外水域的同种鱼迁移而导致渔场内该种鱼的 数量发生改变 2.符号的约定 自然死亡率 z:鱼群总死亡率 q;:捕捞强度系数,(i=3,4),F捕捞努力量; N4(t):(=1,2,34):第讠年龄组在时刻t的1鱼群数目; L:表示一年中后四月份死亡的3、4龄鱼占九月初该龄鱼数量上的百分比