《数学建模》竞赛全国赛优秀论文：彩票方案的评价

本文作者:刘世明,王元元,王进,2002年全赛获全国一等奖 彩票方案的评价 【摘要】 我们把彩票方案的优劣的评价标准归结为其对彩民吸引力的大小,又把这种吸引力分为 两部分:奖金额产生的吸引力和中奖面(即中奖概率)产生的吸引力。通过构造经济学中常 用的效用函数凹,把总的吸引力归结为这两部分加权作用的结果。 其中,奖金额产生的吸引力和中奖面(即中奖概率)产生的吸引力又可以分别由每个等 级奖项的奖金额和中奖概率所产生的吸引力来加权表示。单个等级奖项的奖金额和中奖概率 所产生的吸引力是该等级奖项的奖金额和中奖概率的单增、上凸曲线函数,在这里,我们借 用了高通滤波系统的传输函数1。 我们用层次分析法和熵值取权法确定相应的权值,对各个彩票方案进行了评价(5,6两 种方案较优),通过对两种方法优缺点及其互补性的分析,构造出了一种综合两者的优点的 权值确定方法(作为模型改进的一部分),这种方法既充分考虑了不同人群偏爱不同所造成 的主观影响,又兼顾了所给各方案的固有的、客观的差异。 对于模型中需要用到的参数的确定方法,我们给予了详细的阐述,特别考虑了将彩民按 照其不同的偏爱分为不同的类型,使我们的模型可以适应于不同类型的彩民群体,具有广泛 的适应性 在问题二的解决中,我们建立了一个动态规化模型,在一定的给定参数下,求出了最优 彩票方案。在这一方案的基础上,我们讨论了返还奖金比例可以适当增加的情形,以彩票发 行机构的利润最大为目标,求出了最优的返还奖金比例(538 4 x Ac [1]f(4,Ac) ,(其中p1+P2=D AXAc+P2×駟 s+ a 【关键词】吸引力、层次分析法、熵值取权法、效用函数、传输函数、单位化、 动态规化 第1页共22页

第 1 页 共 22 页 本文作者: 刘世明 王元元 王进 2002 年全赛获全国一等奖 彩 票 方 案 的 评 价 摘要 我们把彩票方案的优劣的评价标准归结为其对彩民吸引力的大小 又把这种吸引力分为 两部分 奖金额产生的吸引力和中奖面 即中奖概率 产生的吸引力 通过构造经济学中常 用的效用函数[1] 把总的吸引力归结为这两部分加权作用的结果 其中 奖金额产生的吸引力和中奖面 即中奖概率 产生的吸引力又可以分别由每个等 级奖项的奖金额和中奖概率所产生的吸引力来加权表示 单个等级奖项的奖金额和中奖概率 所产生的吸引力是该等级奖项的奖金额和中奖概率的单增 上凸曲线函数 在这里 我们借 用了高通滤波系统的传输函数[2] 我们用层次分析法和熵值取权法确定相应的权值 对各个彩票方案进行了评价 5,6 两 种方案较优 通过对两种方法优缺点及其互补性的分析 构造出了一种综合两者的优点的 权值确定方法 作为模型改进的一部分 这种方法既充分考虑了不同人群偏爱不同所造成 的主观影响 又兼顾了所给各方案的固有的 客观的差异 对于模型中需要用到的参数的确定方法 我们给予了详细的阐述 特别考虑了将彩民按 照其不同的偏爱分为不同的类型 使我们的模型可以适应于不同类型的彩民群体 具有广泛 的适应性 在问题二的解决中 我们建立了一个动态规化模型 在一定的给定参数下 求出了最优 彩票方案 在这一方案的基础上 我们讨论了返还奖金比例可以适当增加的情形 以彩票发 行机构的利润最大为目标 求出了最优的返还奖金比例 53% [1] 1 2 1 2 ( , ) ,( 1) i i iii i i Ap Ac f Ap Ac Ac Ap r r r r ´ = + = ´ + ´ % 其中 [2] ( ) s H s s a = + 关键词 吸引力 层次分析法 熵值取权法 效用函数 传输函数 单位化 动态规化

问题的重述 近年来,彩票越来越受到人们的关注,彩民的数量日渐增多。目前流行的彩票主要可分 为“传统型”和“乐透型”两种类型(具体的投注和摇奖方式此处不再赘述)。二者的总奖 金比例一般均为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若已得到高级别的奖就不 能再兼得低级别的奖。奖金设置中,一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖,且一等奖 单注的保底金额为60万元,封顶奖金为500万元,各高项奖总金额的计算方法为: (当期销售总额x总奖金比例)一低项奖总额]×单项奖比例 建立合理的数学模型,解决以下问题: 根据各种设奖方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额 123 的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性 设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此该彩票管理部门提出建议。 给报纸写一篇短文,供彩民参考 模型假设及符号说明 1.不考虑除了奖项的设置方案以外的,其它可能影响彩民购买彩票的因素(如广告等媒 体宣传手段)。 2.彩民购买彩票的注数与彩票方案的吸引力直接相关,表现为吸引力越大,售出的彩票 注数越多。 3,不同的彩民对彩票有不同的喜好,表现为中奖面(即获奖概率)和奖金额度对其 吸引力的不同。 考虑到彩票的销售是一个在一段较长时间内的反复过程,且每期的销售注数都很大 另外彩票的相关规则中也规定:每台终端机中预存的所有不同的自然数组合,每期每组自 然数只能销售一次,即单机不重号。由此,我们可以设想每种奖项的中奖注数依概率收敛 于其期望(期望=总投注数x此奖项的中奖概率)。 符号说明: n:具有不同偏好的彩民群体的个数 m:设奖方案的个数; l:某一设奖方案中奖项等级的个数; Pn:第i种设奖方案所对应的第j种奖项的中奖概率; C:第i种设奖方案所对应的第j种奖项的单项获奖金额; A:第主种设奖方案的吸引力; 第2页共22页

第 2 页 共 22 页 一 问题的重述 近年来 彩票越来越受到人们的关注 彩民的数量日渐增多 目前流行的彩票主要可分 为 传统型 和 乐透型 两种类型 具体的投注和摇奖方式此处不再赘述 二者的总奖 金比例一般均为销售总额的 0 50 0 投注者单注金额为 2 元 单注若已得到高级别的奖就不 能再兼得低级别的奖 奖金设置中 一 二 三等奖为高项奖 后面的为低项奖 且一等奖 单注的保底金额为 60 万元 封顶奖金为 500 万元 各高项奖总金额的计算方法为 [ 当期销售总额´总奖金比例 -低项奖总额]´单项奖比例 建立合理的数学模型 解决以下问题 1 根据各种设奖方案的具体情况 综合分析各种奖项出现的可能性 奖项和奖金额 的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性 2 设计一种 更好 的方案及相应的算法 并据此该彩票管理部门提出建议 3 给报纸写一篇短文 供彩民参考 二 模型假设及符号说明 1 不考虑除了奖项的设置方案以外的 其它可能影响彩民购买彩票的因素 如广告等媒 体宣传手段 2 彩民购买彩票的注数与彩票方案的吸引力直接相关 表现为吸引力越大 售出的彩票 注数越多 3 不同的彩民对彩票有不同的喜好 表现为中奖面 即获奖概率 和奖金额 度对其 吸引力的不同 4 考虑到彩票的销售是一个在一段较长时间内的反复过程 且每期的销售注数都很大 另外彩票的相关规则中也规定 每台终端机中预存的所有不同的自然数组合 每期每组自 然数只能销售一次 即单机不重号 由此 我们可以设想每种奖项的中奖注数依概率收敛 于其期望 期望 总投注数´此奖项的中奖概率 符号说明 n 具有不同偏好的彩民群体的个数 m 设奖方案的个数 l 某一设奖方案中奖项等级的个数 ij p 第 i 种设奖方案所对应的第 j 种奖项的中奖概率 ij c 第 i 种设奖方案所对应的第 j 种奖项的单项获奖金额 Ai 第 i 种设奖方案的吸引力

R:彩票发行部门所能获得的利润 D:彩民购买彩票的总注数 问题的分析 评价某一设奖方案的优劣应该以此方案能给彩票发行部门带来的利润为标准,彩票发行 部门所能获得的利润R=彩民购买彩票的总注数D×单注金额x(1-总奖金比例),在总奖金 比例固定的情况下(509%),获得的利润R与彩民购买彩票的总的注数D成正比。对于不同 的设奖方案,D是此方案对彩民吸引力A的单调增函数,吸引力越大,彩民购买彩票的注数 就会越大,则彩票发行部门所能获得的利润就会越大。因此可以将不同设奖方案的评价函数 定义为此方案对彩民的吸引力。结合实际情况,不同的彩民对奖项和奖金额设置的偏好程度 不同,表现为某一确定的设奖方案对不同彩民的吸引力是不同的。设第i种设奖方案共有l 个奖项,1等奖到l等奖的中奖率分别为P1口P1、单项获奖金额分别为Cn口Cn(我们 可以根据假设4,求出任何一种给定的设奖方案所对应的每个奖项的中奖概率P1口P1和 单项获奖金额Cn口Cn,结果见附表),它对某一类型彩民的吸引力为A,当P1日Pn、 Cn1日cn这27个参数中只有一个增大,而其余(21-1)个不变时,根据实际情况可以知 道,吸引力A必然随之增大,即:吸引力A应该是以P1日Pn、Cn目cn这2/个参数为 自变量的函数,且对于每一个自变量而言,均是单调增函数,这一点对任何设奖方式均适用。 设吸引力函数为A1=f(PDn,P12…,PiCn,C12…,C1),则应该满足: n2÷0 aA ≥0, ≥0 ap aA A 0, aA ≥0 在实际的购买彩票的活动中,当P(或C,j=1,2…1)增大到一定程度时(其余 aA 的变量不变),吸引力A随着P(或C)的增加就已经很缓慢,即 ac. 第3页共22页

第 3 页 共 22 页 R 彩票发行部门所能获得的利润 D 彩民购买彩票的总注数 三 问题的分析 评价某一设奖方案的优劣应该以此方案能给彩票发行部门带来的利润为标准 彩票发行 部门所能获得的利润 R = 彩民购买彩票的总注数D ´单注金额´ 1-总奖金比例 在总奖金 比例固定的情况下 50% 获得的利润 R 与彩民购买彩票的总的注数 D成正比 对于不同 的设奖方案 D是此方案对彩民吸引力 A的单调增函数 吸引力越大 彩民购买彩票的注数 就会越大 则彩票发行部门所能获得的利润就会越大 因此可以将不同设奖方案的评价函数 定义为此方案对彩民的吸引力 结合实际情况 不同的彩民对奖项和奖金额设置的偏好程度 不同 表现为某一确定的设奖方案对不同彩民的吸引力是不同的 设第 i 种设奖方案共有l 个奖项 1 等奖到l 等奖的中奖率分别为 i1 il p p : 单项获奖金额分别为 i1 il c c : 我们 可以根据假设 4 求出任何一种给定的设奖方案所对应的每个奖项的中奖概率 i1 il p p : 和 单项获奖金额 i1 il c c : 结果见附表 它对某一类型彩民的吸引力为 Ai 当 i1 il p p : i1 il c c : 这 2l 个参数中只有一个增大 而其余 2 1 l - 个不变时 根据实际情况可以知 道 吸引力 Ai 必然随之增大 即 吸引力 A 应该是以 i1 il p p : i1 il c c : 这 2l 个参数为 自变量的函数 且对于每一个自变量而言 均是单调增函数 这一点对任何设奖方式均适用 设吸引力函数为 1 2 1 2 ( , ,,;,,,) Ai i i i il i i il = f p p L L p c c c 则应该满足 1 2 1 2 0, 0, , 0 0, 0, , 0 i i i i i il i i i i i il A A A p p p A A A c c c ì ¶ ¶ ¶ ³ ³ ³ ï ï¶ ¶ ¶ í ¶ ¶ ¶ ï ³ ³ ³ ï¶ ¶ ¶ î L L 在实际的购买彩票的活动中 当 pij 或 cij j l =1, 2L 增大到一定程度时 其余 的变量不变 吸引力 Ai 随着 pij 或 ij c 的增加就已经很缓慢 即 i ij A p ¶ ¶ 或 i ij A c ¶ ¶

→0,在整个定义域内均有2≤0(或 ),因此可以定性地得到A关于P (或C)的函数曲线大致形状如下图(其余的变量不变) 图 四 模型的建立 我们将对于不同设奖方案的评价归结为如下两个数学模型 模型一:(层次分析法) 吸引力函数厂是14个变量的函数,我们将这14个变量分为两组: (P1,p2,…,p1)和Ac(cG1C2…,C),则 f(pu, p Pil, i1 12 Cil)=f(Api, Ac) 其中,AP表示第1种设奖方案中奖面(获奖概率)对彩民的吸引力,AC表示第 种设奖方案的中奖金额对彩民的吸引力。二元函数f(x,y)应满足以下条件 y>09 ax 参考经济学中的效用函数,定义 第4页共22页

第 4 页 共 22 页 ® 0 在整个定义域内均有 2 2 0 i ij A p ¶ £ ¶ 或 2 2 0 i ij A c ¶ £ ¶ 因此可以定性地得到 Ai 关于 pij 或 cij 的函数曲线大致形状如下图 其余的变量不变 PijHCijL Ai 图一 四 模型的建立 我们将对于不同设奖方案的评价归结为如下两个数学模型 模型一 (层次分析法) 吸引力函数 i f 是 14 个变量的函数 我们将这 14 个变量分为两组 1 2 ( , ,,) Api pi p p i L il 和 1 2 (,,,) Ac c i i c c i L il 则 1 2 1 2 ( , ,,;,,, ) (,) i i i il i i il iii f p p p c c c = f Ap Ac L L % 其中 Api 表示第 i 种设奖方案中奖面 获奖概率 对彩民的吸引力 Aci 表示第 i 种设奖方案的中奖金额对彩民的吸引力 二元函数 (,) i f x y % 应满足以下条件 0 i f x ¶ > ¶ % 0 i f y ¶ > ¶ % 2 2 0 i f x ¶ < ¶ % 2 2 0 i f y ¶ < ¶ % 2 0 i f x y ¶ > ¶ ¶ % 参考经济学中的效用函数 定义

f (Ap, Ac) 4p×4琪其中 p,+p p1×Ac+p2×p 其中,P1,P2分别表示彩民对中奖面和对中奖金额的偏爱程度,与具体的设奖方案无 关。 对AP1、AcG,我们定义成以下的形式: Ap=∑ g(p Ac1=∑ u 其中,g(x)是表示吸引力的函数,大致形状如图一。8(P)表示第i种设奖方案中 第等奖的中奖概率的吸引力,g(C)表示第i种设奖方案中第等奖的中奖金额的吸 引力 由前面的分析可知,g(x)应该是关于x的单调增函数,且当x比较大时, dg(x>0,在整个定义域内均有 dg(x<0。联想到高通滤波系统的传输函数 dx (H(s)=-3)具有该特性,且表达形式较为简单,我们将g(x)构造成相应的形式。 s+ a Q表示第j等奖的中奖概率的吸引力在Ap中所占的比重,1,表示第j等奖的中 奖金额的吸引力在Ac中所占的比重,O)和1代表彩民对第等奖(j=12…,1)的 中奖概率和中奖金额的重视程度,只会随着彩民类型的变化而变化,而与具体的设奖方案无 关 把具有各种不同喜好的彩民视作一个整体,用层次分析的方法就可以建立如下模型,由 如下的层次结构图描述 第5页共22页

第 5 页 共 22 页 1 2 1 2 ( , ) ,( 1) i i iii i i Ap Ac f Ap Ac Ac Ap r r r r ´ = + = ´ + ´ % 其中 其中 1 2 r r, 分别表示彩民对中奖面和对中奖金额的偏爱程度 与具体的设奖方案无 关 对 Api Aci 我们定义成以下的形式 1 1 ( ) 1 l i j i j j l j j A p w g p w = = ì = ´ ï ï í ï = ï î å å 1 1 ( ) 1 l i j ij j l j j A c u g c u = = ì = ´ ï ï í ï = ï î å å 其中 g x( ) 是表示吸引力的函数 大致形状如图一 ( ) g pij 表示第 i 种设奖方案中 第 j 等奖的中奖概率的吸引力 ( ) g cij 表示第 i 种设奖方案中第 j 等奖的中奖金额的吸 引力 由前面的分析可知 g x( ) 应该是关于 x 的单调增函数 且当 x 比较大时 ( ) 0 dg x dx ® 在整个定义域内均有 2 2 ( ) 0 dgx dx < 联想到高通滤波系统的传输函数 ( ) s H s s a = + 具有该特性 且表达形式较为简单 我们将 g x( ) 构造成相应的形式 wj 表示第 j 等奖的中奖概率的吸引力在 Api 中所占的比重 j u 表示第 j 等奖的中 奖金额的吸引力在 Aci 中所占的比重 wj 和 uj 代表彩民对第 j 等奖 j l = 1,2, , L 的 中奖概率和中奖金额的重视程度 只会随着彩民类型的变化而变化 而与具体的设奖方案无 关 把具有各种不同喜好的彩民视作一个整体 用层次分析的方法就可以建立如下模型 由 如下的层次结构图描述