第行章在本质上隔前者乃对对于任给直线反 射称具体映而後则任三角3.的锂个示A 能与够能相3于构A( (以之与够之相 (楸而,体等能常充要条写相 以它等常充要条( 〔似常等能给,应体边 能 角的锂合两 上述後则任三而系统推导.下角 【于理合谷角设△与槌能而设条为射称,,能与够能相,BC应体進能 而,体等常充给,要条’而是C设要体相射,,线之与够之相边 点明角设给,应体,由个设△)能与和△)能相所足的平的 射条H边个+ 线够端习)够)相通与够相够茹 角的两 于直线反学
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硕泣立概性平面才真正映著空基性事质 者他们推导所定就顶平分线成射然後△具探于映各广泛深线成射然後平 分平面远後正影0泛各广映,简4者就平行性也分,面表空达了析平面 各广性方向种向直才真共点正映作空映工影」深导述概差别定也度 何推同行观向内性含氵让析就度所风几若0△顶于具少△顶于探 定也留作易点他就若同回閒深所={方,或验定行观映所就其定 也何=度观述一内熟知映叠合条件AS逸达推导而同们 【概差斫这】们胝S丑若△具探于和△具探于满足∠具D∠具究探D∠探 而且具探D具探就则△具探于伊△具探于深 定也们渃具于D興予就则两者别经满足SS立全线条件深不然 就不妨设要于>县深方具宇导取于点使同于D具于就则0 △具探于△具探于席通S丑就所 ∠具探于D∠具探于<∠具探于 显然和所设∠具探于D∠具探于矛盾深 探具 [远确再他 【概差硐】馆若Δ具探于映两底然相线就若∠具D∠探就则△具探于必 为线成就亦若于具D于探深 定也馆度所设△具探于和△具于探满足AS选件就[概差硕若同 △具探于△具于探就所=于具D于探深 12定性平面几何中的常用基本事实 方概性平面才真正,0其他映叠合条件、作远点和不线式就性们都 何=空线成射然後映特性含达系统地推导而同深运空这些基性映事质 就我们,何=定也射然後内然和不大表一内平然(详见性章析末)深 基础才真学
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章.连结、分隔与对称—一定性平面几何 【定理1.4】:(S.S.S.)若△ABC和△A'BC'的三边对应等长,则 △ABCs△ABC′ 证明:如[图1-4]所示,我们可以在AB的另一侧作△ABC*使得 ∠BAC*=∠BYC,AC=AC,则有△ABC*△ABC"(S.A.S),所 以BC=BC=BC。连结C,由所设△ACC*和△BCC*皆为等 腰。再由[定理11·即有 4C*C.∠BCC*=∠BC*C →∠ACB=∠AC*B △ABC△ABC+(SA.S) △ABC′(所作 图1-4 【基本作图题1.1】:作一个给定角的分角线 作法]以给定角顶点C为圆心’任取一半径在其角边之两条射线上分 别截取CA=CB=r,如[图1-5所示。在AB的另一侧有一个C 基础几何学
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1.2.定性平面几何中的常用基本事实 使得 AC*=AC= BC*= Bc= r 而C*可以由以r为半径分别以A,B为圆心的交截而得(C和C“分 别是这两个圆的交点)。连结CC,即为所求之∠C的分角线。 证明:由所作△ACC*△BCC*(S.S.S.),所以∠ACC*=∠BCC 而且A,B分居于CC*之两侧。所以CC平分∠C 【基本作图題1.2】:在射线AB之一侧作另一射线AC使得∠BAC等 于一个给定角∠A 「作法]以AB为半径,A为 分别在∠A'的两个角边上截取 AB=AC=AB。再以A为圆心,AB为半径和以B为圆心,BC 为半径各作一圆而得两个分居于AB两侧的交点C和C*。由所作即有 △ABCs△ABC"s△ABC*(S.S.S.) 【基本作图题1.3】:作一给定线段AB的垂直平分线。 [图1-7] 基础几何学
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第一章.连结丶分隔与对称——定性平面几何 作法]如[图1-7]所示,在AB线外任取一点C。若 BC,则可 以由「基本作图1.1]的作法求得居于另一侧的C*,使得 =BC。则 CC*就是AB的垂直平分线 若AC≠BC,则可在AB同侧再作C"点使得△BAC"△ABC 它们的两对对应边,即 4C,BC}和{BC,AC7} 之中必有一对相交与一点C(如[图1-7所示)。由[定理1.3] AC=BC,所以可以用前面的作法求得AB的另一侧的C*点,使得 Ac 则CC*就是所求作的垂直平分线 证明:由所作,△ABC是等腰,而且CC*平分其顶角。由此易 见△ACM△BCM(S.A.S.),所以AM=BM,∠AMC=∠BMC 直角 【定理1.5】:设有相异直线(1,2分别和第三条直线C相交,若同位 角相等(如[图1-8]所示 ),则(1,C2不相交 B [图1-8 证明:我们用反证法,设C=C1∩C2。在C2上取BC=AC {C,C*}分居的两侧’连结C*A。则由所作△ABC*和△BAC满足 S.A.S.,所以两者全等。由此可得 ∠BAC*+∠1=∠ABC+ (平角) 因此C*A=AC=C1,而1,(2相交于分居C的两侧的C和C*。这显然 和二点确定唯一一条直线相矛盾。所以1和C2是不可能相交的!□ 基础几何学
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