Q 假如把一张纸想成是平面的局部,则在上述反射对称9之下相互对应 的点P,P′也就是把纸张沿￠折摺时相互叠合者。而二个相互叠合的直 线段(或角区)则显然是等长(或等角)的。由此可见这种反射对称 乃是一种保长丶保角的变换 注]:古希腊的几何学家肯定是认识到上述反射对称性及其保长保角性 的。也许他们认为这种描述还不够初等,所以他们改用下述三条叠合 公理来描述空间对称性这种本质 1.直线段的叠合公理:设AB是一个给定直线段,P是给定直线上 个给定点。则在P的两侧各有唯一一点Q,Q使得AB和PQ, PC能够叠合,亦即等长 B 图04 2.角区的叠合公理:设∠AOB是一个给定角,P是一个给定射线 则在直线PQ的两侧各有唯一的射线P和P,使得∠AOB 和∠QPR或∠QPP'能够叠合,亦即等角 R
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3.三角形的叠合公理:两个三角形△ABC和△AB'C′能够相互叠合 (亦称之为全等)的充要条件是它有相应的两边及其夹角(SA.S.) 能够彼此叠合(亦即对应等长和等角)。 A∠ 例如△ABC和△AB'C"之间有AB和AB等长,和AC 等长,而且∠BAC和∠B'AC′等角:则必有BC和B⑦等长, ∠ABC和∠ABC′等角和∠ACB和∠AC'B′等角 [注]:上述三条叠合公理之中’第一条和第二条其实是用来确立等长和 等角这两个基本概念而第三条才是真正的反映著空间对称性这种本 质。再者·他们用上述公理推导的第一个定理就是等腰三角形△ABC (即AB和AC等长)是对于其顶角平分线成反射对称的,然後以等 腰三角形为工具去探索空间对称性各种各样广泛而且深远的影响 0.4平行性 平面上的一条射线表达了一个方向,而一条直线则是具有两个相 反的方向。再者两条共起点的射线AB和AC在方向上的差别也就是 ∠BAC的角度所表达者,亦即角度乃是其方向差的度量是也。在平面 几何中,两个射线同向平行的直观内含是两者所表达的方向相同。以 下让我们来分析一下,这种「方向相同」的概念究竟应该如何定义才 算是合理 【分析】: 1.若AB,CD共在一条直线上,则易见两者同向的充要条件是 AB,或
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[在两者反向时AB∩CD的可能性是φ,单点或一个有限长线段。 2.在AB,CD不共线的情形,连结AC。如图07所示,A和 C共线同向,而∠1和∠则分别度量著AB和AC,CB和CE 的方向差。由此可见,∠1=∠2应该是检验AB和CD是否方向 相等的合理条件’因为「等向」减「等向」应该还是相等者,是 不 E 图0-7 3.假如我们采取上述「合理」的条件来定义AB,CD是否「等向 即∠1=2表示AB,CD「等向」。令BB是和AB共线同向 者,则由 「等向」和AB,C方「等向 当然也应该有BB和CD「等向」。因此如[图0-7所示的∠3 应该等于∠4。再者’由[图0-7所示 平角(π) ∠1+∠6+∠5=∠2+∠6+∠5=∠3+∠5
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许他们为分描还不够初他许所三条公来空间本质合1.定设A B不给生矛两侧各有唯使们角得所和角能空间恒用于亦即初角4)∠O 还侧他所初行性能们角得所和角能恒用于2其5空同亦X1所 两种表现∠ 注]:在古希腊所欧几里得所“ Elements”中,以下述初行公1来描述初 行性侧即设初他许两条直线(1,(2能第们条直线C相交 [图0-8 若同傍和角∠1,∠1之能小于2侧测,(2必定相交于C所∠1,∠1所在 所各亦侧∠ 初行性在初他几何中所扮演所角色空它使得定量几何中所各种公式 都大大所简化∠例如们角得所他积公式空底ⅹ高:2条侧直角们角得 所们边满足勾方加股方用于弦方侧及相似们角得定1用用都空必须 依赖于初行性所 注]:空间所连续性在直观许业已由亦条直线乃空连续不断所伵空它 B空跡剪即断条侧亦即亦条直线C略去其中任给亦为P後側即已分 割成两断∠但空许述连续性所深入1解能深远影响则有待往後在适当 所.方再详加研讨∠
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第一章 连结丶分隔与对称—定性平面几何 定性平面几何所要研讨的主題是「全等形」和「平行性」。在本质 上’前者乃是平面对于任给直线的反射对称性的具体反映,而後者则 是三角形的3角和,等于三角平角燈公所两个的「平直性」。在本AB C和′以三角平面上连能与够相的互本能构和三角(亦称之为互全 等定性平面几何B常充的互本要条,件三它有应边要的逻辑推导和 系统化整之。而关于平行性的讨论’则会留待下三A再件系统整之 亦即在本A的论证B,C和′会完全避免充平行性,所以所证得的能 果·在非欧面也同样成立! 为了有化叙述起见’往後′会充AB同时两示该直线段子集及其长 度’∠ABC同时两示该角区及其角度(亦即BA和B的方向差)等 等。而三些集亦的两述方式如S=<1U2U{4}>和{P}=AB∩CD 会有化为S=<1,2,A>和P=AB∩CD等等。 1.1等腰三角形的特徵性质 在各种各样的平面图形之B,三角形乃是最为有单者;而在各种各 样的三角形之B’最为互本者则首推等腰三角形。究其原因’就是等 腰三角形所具有的轴对称能够具体而微地反映著平面的反射对称性, 所以它和乃是研讨平面几何之B对称性的种种两现与推论的互本工具 所以定性平面几何的首要之务·就是推导等腰三角形的各种各样的 特徵性质,亦即
❾ ❿ ➀ ➁ ➂ ➃✿➄ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉❃➉ ➊ ➋ ➌ ➍ ➎➏ ➐➒➑✧➓❍➔✷→✵➣❍↔❍↕✵➙✧➛✠➜✷➝✫➞✢➟➡➠➤➢❅➥❵➦➨➧➫➩ ➠✌➓➒➭✽➑❖➧➲➯❃➳❍➵✳➸ ➺➼➻✦➽✷➾✳➚ ➟❲➓✿➔➒➪❍➶❵➹✠➘✧➴❲➷✳➜✯➬❍➮❲➪❲➱❲➑✢➜❲✃✯❐❍➬✳❒ ➻♠❮◗❰❍➾✠Ï ➟✯Ð❅Ñ❇➦✧➜✠Ò◗Ñ❇➩❅Ó✽➥✷➶✷Ô✷Õ✽➓❅Ñ×ÖÙØÛÚÜ↔✽Ý✽Þ✳➜ß➠à➓✽➴✭➑✆➧✎➯❥➳❅➵✳á✿â ➻✤ã✯ä❍å➨æ Ô✳Õ✳➓✧➔ ➺❅ç✧è✧é✯ê✢ë ➜➒ì✳➵ è✷í ➩✠Ð❲Õ✠î◗ï❅ð✳ñ✧ò✯ì❲ó ➻❃ô ➐❵➑✠➓✧➔❲→◗➣õâ✯ö✽÷❅➜❵ì✳➵✢ø✧ù ➻ûú Ô❅ü✼ý✷þ❇ÿ✼↕✧➜✁✄✂✄☎✝✆➒➩ ✞✠✟✄✡☞☛✯ñ❭➯ ❮✍✌ ➶✳➓✯➭❅➑✢➜➒➛✏✎ ➻♠Ï✁✑✓✒✠✔✖✕ Ô✳á✘✗ ú ✞✠✟✖☛✯ñ✚✙ ✛✄✜ ➳✧➵✿á✳➜✢✎✏✣ â ➻ ã✷ä❍å✖✑☞✤ ➢✘✥✧✦✳÷❲➓✯➭❅➑ ➻ ↔ æ ↔✘✣✄★❡➜ è ✩ ➻ ➳✝✪✘✫❍➔✭✬✓✮✰✯✍✱✄✲✴✳ ò✶✵❵ý✷✡✘✸✺✹✼✻✾✽ ➻❀✿❅❰❲å✺✑ ÷ ❁❃❂❄✮✭❅✫Ý✍❆✭❇✿➴✽➷❉❈✧❊✖❋✭●✏❍✖■ ❏ ➻▲❑❁❃❂◆▼❖✮✭❅➒Ý✍❆✢❇✼Ñ✍P◗●✏❍✿Ñ ❏ ❘ ✛✘✜❚❙❱❯❂❲❁❍➩ ❂◆▼❙❳❯❖➜✘❨✍❩✼❬❪❭ ➥ ➥ ➯ ❮ Ô✺❫✺❋✭ï✠➜❵Ý✏✹✖❨✺❴❉❵❚❛❉❜◆❝❡❞❣❢✐❤❥❞❧❦♠❤♦♥❣❁q♣♠r❲➩✴♥ts✉♣✈❜✢❁❃❂✼✇①▼q② å✺✑ ý✷✡❍ò③❛◗❜◆❝✉❞❣❢⑤④⑥❞❧❦⑦④⑧❁⑨r❲➩⑩s❶❜✭❁❃❂✼✇❷▼q②⑩➥✽➥ ➯ ❸❡❹❺❸ ❻✴❼ ❽ ❾➀❿ ➁➃➂➅➄ ➆ ➇ ➳✖➈✘➉✄➈❶✯✠➜✽➓❍➔✖➊➫➦✏➋➨â ➻ Ð❍Ñ✵➦ ➚ ➟✺➌➒ò✢ý❉➍ ➾ ✙ ❮ ➳✖➈✄➉✘➈ ✯✼➜❅Ð✧Ñ◗➦✺➋❖â ➻ ➌❵ò✯ì❍➵ ➾✠Ï✏➎ ☎✠➥✢➏✼Ð✧Ñ◗➦ ➯➑➐✢❍✘➒➔➓ ➻➣→ ➟✽➥ ➏✼Ð✿Ñ◗➦✳↔✧✃✘↔✠➜✁↕❅➪❲➱✾➙✼➛❍✃✯❐ ❮✭➜✖➝ ➬✳❒✄➞✿➓✧➔✽➜✯➬❍➮❲➪❲➱❲➑ ➻ ↔ æ✄➟✵ä✿➚ ➟✵➙✠➛✠➓✧➔✽→✫➣✍➋❖â✵➪❲➱❅➑✢➜✼➉✏➉✳Ý✄➠ é ☎✏✎✼➜➒ì✳➵✖➡✳✃ ➯✞↔ æ ➐❵➑✠➓✿➔✽→◗➣❡➜ ➎ ↕✘➋➤➢ ➻➣→ ➟✢☎✾✆✽➥✢➏✼Ð✧Ñ◗➦✼➜✼➈✏➉✏➈✘✯✼➜ ➥❶➦ ➑✧➸ ➻ ✛✘✜⑩➧ ➨