I(x + Dx) - I(x) = lf(x + Dx, y) - f(x, y)dy, (3)由于f(X,J)在有界闭区域R上连续,从而一致连续,即对任意e >0 ,总存在d >0,对R内任意两点(xi, J1)与(x2, J2) 只 要Ix,-x, /<d,lyi- y2 /<d ,就有(4)[ f(xi, y) - f(xz, J2) /<e.所以由(3), (4)可得, 当 Dx |<d时巡回前页后贡
前页 后页 返回 由于 在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续, 即对任意 总存在 对R内任意两点 只要 就有 所以由(3), (4)可得
I I(x+ Dx) - I(x)/ f o1 f(x + Dx, y) - f(x, y) Idy<edx =e(d - c).即 I (x) 在[a, b] 连续。固理可证:若f(X,J)在短形区域R上连续,则含参量y的积分(5)J(y) = f(x, y)dx在[c,d ] 上连续.注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式后贡巡回前页
前页 后页 返回 即 I (x) 在 上连续. 同理可证: 若 在矩形区域 R上连续,则含参 量 的积分 在[c ,d ]上连续. 注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:
若fX,V在短形区域R上连续，则对任何x, I [a,b],都有Im (x, dy=m (x, )dy.这个结论表明，定义在短形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以文换的注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件 F在[a,b]'[c,d]上连续可改为在A'[c,d]上连续,其中A为任意区向巡回后贡前页
前页 后页 返回 若 在矩形区域 R 上连续,则对任何 都有 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极 限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 为任意区间. 注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件
定理19.2 (F(x的连续性） 若二元函数f(x, )在区域G=(x, y)Ic(x) f yfd(x),axfb)上连续, 其中c(x), d(x)为[a, b] 上的连续函数, 则函数d(x)(6)F(x)= O() f(x, J)dy在[a,b] 上 连续,证对积分(6)用换元积分法,今y =c(x) +t(d(x) - c(x)) .当 y 在c(x)与d(x)之向取值时,t 在 [0, 1] 上取值,且巡回前页后贡
前页 后页 返回 定理19.2 ( ) 若二元函数 在区 域 上连续, 其 中c(x), d(x)为 上的连续函数, 则函数 在 上连续. 证 对积分(6)用换元积分法, 令 当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 [0, 1] 上取值, 且
dy = (d(x) - c(x))dt .所以从(6)式可得d(x)F(x)= Qm) (x, y)dyQ f(x, c(x) + t(d(x)- c(x)(d(x)- c(x)dt.由于被积函数f(x, c(x)+t(d(x) - c(x)(d(x)- c(x)在短形区域[a ,b] [0 ,1] 上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续巡回前页后贡
前页 后页 返回 所以从(6)式可得 由于被积函数 在矩形区域 上连续, 由定理19.1得积分 (6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续