北京师范大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 实数理论

§4有理数系的性质 自然数系及其运算 有理数系的建立 有理数的运算性质 有理数的序性质和稠密性质 有理数的不完备性

11 §4 有理数系的性质 • 自然数系及其运算 • 有理数系的建立 • 有理数的运算性质 • 有理数的序性质和稠密性质 • 有理数的不完备性

自然数系及其运算 已经完成了逻辑地引入自然数系N={0,1 2,}的过程(上一章引入的 加法运算就是数数,乘法运算就是一类特 殊数数的方法 °减法:对小的数加多少的到大的数 除法:分组 带余除法:确定组数和余数 归纳法是论证工具 12

12 自然数系及其运算 • 已经完成了逻辑地引入自然数系N={0,1, 2,…}的过程(上一章引入的) • 加法运算就是数数,乘法运算就是一类特 殊数数的方法. • 减法: 对小的数加多少的到大的数 • 除法: 分组 • 带余除法: 确定组数和余数 • 归纳法是论证工具

有理数系Q的建立 有理数可以看成是由为了在自然数系中 加、减、乘和除封闭而得到的最小集合 自然数到有理数的逻辑扩展: 由自然数及其笛卡尔积建立整数使得加、减、 乘封闭; 由整数及其笛卡尔积建立有理数使得加、减 乘和除封闭 自然数到有理数的直观扩展:引入负数和 所有正整数份数 13

13 有理数系Q的建立 • 有理数可以看成是由为了在自然数系中 加、减、乘和除封闭而得到的最小集合 • 自然数到有理数的逻辑扩展: – 由自然数及其笛卡尔积建立整数使得加、减、 乘封闭; – 由整数及其笛卡尔积建立有理数使得加、减、 乘和除封闭 • 自然数到有理数的直观扩展: 引入负数和 所有正整数份数

有理数的运算性质 加法和乘法满足交换律:a+b=b+a,axb= b×a与结合律a+(b+c=(a+b)+c,ax(bxc) (a×b)×c 乘法与加法之间满足分配律: a×(b+c)=a×b+a×c 0是加法零元:Va:a+0=a 1是乘法单位元:a:ax1=a 每个数a有负数a:a+(-a)=0 每个非零数a有倒数1/:ax(1/a)=1

14 有理数的运算性质 • 加法和乘法满足交换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c • 乘法与加法之间满足分配律: a(b+c)= ab+ac • 0是加法零元: a: a+0=a • 1是乘法单位元: a: a1=a • 每个数a有负数-a: a+(-a)=0 • 每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=1

有理数序的三歧性和稠密性 ·有理数序的三歧性:a,b∈Q则a<b,a=b,a>b 中有且仅有一种情形成立 序与加法和乘法的关系 va,b,c∈Q,a>b→a+c>b+c a,bc∈Q且c>0,a>b→axc>bxc 记号:a≤b表示a<b或a=b;a>b表示a>b或a=b 有理数的稠密性:vab∈Q,a<b,彐c∈Qa<c<b 15

15 有理数序的三歧性和稠密性 • 有理数序的三歧性: a,bQ, 则a<b, a=b, a>b 中有且仅有一种情形成立 • 序与加法和乘法的关系: – a,b,cQ, a>b a+c>b+c – a,b,cQ且c>0, a>b ac>bc • 记号: ab表示a<b或a=b; ab表示a>b或a=b • 有理数的稠密性: a,bQ, a<b, cQ: a<c<b