下列各式均为常数项级数 -+∷+ n2”24 n=1+2++n+ 1-1+1-1+…+(-1)”+ n=1 cos n= cos1+COS 2+.+cosn
下列各式均为常数项级数 ; 2 1 4 1 2 1 2 1 1 = + ++ + + = n n n 1 2 ; 1 = + ++ + + = n n n ( 1) 1 1 1 1 ( 1) ; 1 1 − 1 = − + − ++ − − + + = − n n n cos cos1 cos 2 cos . 1 = + ++ + + = n n n 例1
例2 下列各式均为函数项级数 ∑(-1)xn=1-x+x2+…+(-1)x+ X∈ R ax=aax+ax +.+ax+ x|<1 sin nx=sinx+sin 2x+.+sin nx+ x∈R
下列各式均为函数项级数 ( 1) 1 ( 1) , 2 1 1 1 − 1 1 = − + ++ − − − + + = − − n n n n n x x x x x R. , 2 0 1 2 0 = + + ++ + + = n n n n n a x a a x a x a x | x | 1. sin sin sin 2 sin , 1 = + ++ + + = nx x x nx n x R. 例2
2.级数的敛散性定义 无穷级数n的前n项之和: n=∑uk=1+2+…+tn 称为级数的部分和 苦mSn=S存在,则称级数∑un收敛 n→> S称为级数的和:∑un=S
2. 级数的敛散性定义 无穷级数 + n=1 un 的前 n 项之和： , 1 2 1 n n k Sn = uk = u + u + + u = 称为级数的部分和. 若 S S n n = → lim 存在, 则称级数 + n=1 n u 收敛. S 称为级数的和： . 1 u S n n = + =
若imSn不存在(包括为∞) n→)+ +oO 则称级数 发散
若 n n S →+ lim 不存在 ( 包括为 ) , + n=1 则称级数 un 发散
例3讨论等比级数∑的敛散性 解等比级数的部分和为: n-1 k-1 k=1 当公比|r|<1时) lim S=lina(1-r) a n→>+00 n→)+0 此时等比级数收敛。其和为:S
讨论等比级数 的敛散性. + = − 1 1 n n ar 等比级数的部分和为： = = = − n k k Sn ar 1 1 当公比 | r | < 1 时, = − − = →+ →+ r a r S n n n n 1 (1 ) lim lim 此时等比级数收敛, 其和为： 。 1 r a S − = 解 = − − − r a ar r n 1 1 r a r n − − 1 (1 ) , 1 r a − 例3