第三章复变函数的积分(Integrationof functionofthecomplexvariable)第一讲授课题目：$3.1复积分的概念$3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理、学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：Ps-76思考题：1、2、习题三：1-10板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等1
1 第三章 复变函数的积分 (Integration of function of thecomplex variable) 第一讲 授课题目：§3.1 复积分的概念 §3.2 柯西积分定理 教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函 数积分的基本性质、柯西积分定理. 学时安排：2 学时 教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线 上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定 积分的概念 教学重点：复变函数积分的计算问题 教学难点：柯西积分定理 教学方式：多媒体与板书相结合 作业布置： P75−76 思考题：1、2、习题三：1-10 板书设计：一、复变函数积分的计算问题 二、柯西积分定理 三、举例 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第 二版）2005 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等
教育出版社，2008年4月课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：s3.1复积分的概念(Theconceptionof complexintegration)一、复变函数的积分的定义（Complexfunctionofthe2
2 教育出版社，2008 年 4 月. 课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分 2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方 法掌握不理想 3、利用课余时间多和学生交流 教学过程： §3.1 复积分的概念 (The conception of complex integration) 一、复变函数的积分的定义（Complex function of the
integral definition)定义（Definition）3.1设在复平面上有一条连接A及B两点的光滑简单曲线C设f(2)=u(x,J)+iv(x,y)是在C上的连续函数.其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部.把曲线C用分点A=20,21,…m-1-z,=B分成n个小弧段，其中z=x+y(k=0,1,2...n)y=,=BZALZo =AX在每个狐段上任取一点s=+m，作和式Z f(s)(z,-2-1)(1)k=l令=max=-z-B，当→0时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于Sk=5+n的选择，也不依赖于曲线C的分法，则就称此极限值为f(-)沿曲线C的积分.记作n
3 integral definition） 定义（Definition）3.1 设在复平面上有一条连接 A 及 B 两点的光滑简单曲线 C 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是在 C 上的连 续函数.其中 u(x, y) 及 v(x, y) 是 f (z) 的实部及虚部.把曲线 C 用 分点 A = z0 , z1 , z2 ., zn−1 , zn = B 分成 n 个小弧段，其中 z x y (k 0,1,2,., n) k = k + k = y zn = B k z k −1 z 1 z z0 = A O x 在每个狐段上任取一点 k k k = + ，作和式 ( )( ) 1 1 − = − k n k k k f z z （1） 令 max{| |} 1 1 − = k − k k n z z ，当 →0 时，若（1）式的极限存在，且此 极限值不依赖于 k k k = + 的选择，也不依赖于曲线 C 的分法， 则就称此极限值为 f (z) 沿曲线 C 的积分.记作
[, f(=)d = im f(GX=x -=-)kl当f(=)沿曲线C的负方向（从B到A）积分，记作[(=)d当f(=)沿闭曲线C的积分，记作ff(=)dz定理(Theorem)3.1若f()=u(x,y)+iv(x,y)沿光滑简单曲线C连续，则f(z)沿C可积，且J, f(z)dz = J,u(x, y)dx-v(x, y)dy+if, v(x, y)dx + u(x, y)dy,(2)证明：f(GX= -)Z[u(5k,n)+i(5,n)[(x -x)+i(y+I-)]-2(a, (-x)- (, -)k=lk=l-+[Z(5k,n)(x+ -x)+Zu(5k,n)(y+ -y) ]k=lk=l由f(=)=u(x,y)+iv(x,y)沿光滑简单曲线C连续，可知u(x,y),v(x,y)沿光滑简单曲线C也连续，当→0时，有max( yx- ye-1 /I -0max (/ x- Xx- I) → 0于是上式右端的极限存在，且有Jf(=)dz = J,u(x, )dx-v(x )dy+if, (x, y)dx+ u(x, y)dy,4
4 = C f (z)dz lim ( )( ) 1 1 0 − = → − k n k k k f z z 当 f (z) 沿曲线 C 的负方向（从 B 到 A ）积分，记作 − C f (z)dz 当 f (z) 沿闭曲线 C 的积分，记作 f (z)dz C 定理(Theorem)3.1 若 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 沿光滑简 单曲线 C 连续，则 f (z) 沿 C 可积，且 f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy, C C C = − + + （2） 证明： ( )( ) 1 1 − = − k n k k k f z z [ ( , ) ( , )][( ) ( )] 1 1 1 k k n k k k k k k k = u + iv x − x + i y − y + = + [ ( , )( ) ( , )( ) , ( , )( ) ( , )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = + = + − = + = + + − + − = − − − n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k i v x x u y y u x x v y y 由 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 沿光滑简单曲线 C 连续，可知 u(x, y), v(x, y) 沿光滑简单曲线 C 也连续，当 →0 时，有 max{| |} 0 1 1 − − → k k k n x x max{| |} 0 1 1 − − → k k k n y y 于是上式右端的极限存在，且有 f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy, C C C = − + +
二、复变函数积分的计算(Complex integrationof computational problems)设有光滑曲线C：z=2()=x(l)+()(α≤t≤β),即=(在[α,β]上连续且有不为零的导数=)=x()+iy().又设J()沿C连续.由公式(2)我们有J. f(z)dz= J,u(x, y)dx -v(x, y)dy +if,v(x, y)dx + u(x, y)dyT[ u(x(0) (0)x(0)-(x(0), y(0)(0) t+i[ (x(0) y(0)x(0)+ u(x(0), y(0)(0) lat[。 f(=)dz = [8 f[2(0)}'()dt,即(3)或 J。 (=)d = J Re ([=(0)](0)]dt +i, Im([=(0)]1(0)at(4)用公式（3)或（4)计算复变函数的积分，是从积分路径C的参数方程着手，称为参数方程法。注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论例1计算[zdz，其中C是（1）从点1到i的直线段C；（2）从点1到0的直线段C,，再从点0到i得直线段C，所连接成的折线段C=C,+Cs.解:(1)C=C;z(t)=1-t+it(0≤t≤1),有:[=dz = (1-t-it)(-1+i)dt = f(2t -1)dt+if'dt = i5
5 二、复变函数积分的计算 (Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线 C : , 即 在 上连续且有不为零的导数 .又 设 沿 C 连续.由公式(2)我们有 u(x(t) y(t))x (t) v(x(t) y(t))y (t) dt f z z u x y x v x y y i v x y x u x y y C C C = − = − + + , , ( )d ( , )d ( , )d ( , )d ( , )d + i v(x(t) y(t))x (t)+ u(x(t) y(t))y (t) dt , , 即 (3) 或 (4) 用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径 C 的 参数方程着手,称为参数方程法. 注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例 1 计算 zdz C ，其中 C 是 （1） 从点 1 到 i 的直线段 C1 ； （2） 从点 1 到 0 的直线段 C2 ，再从点 0 到 i 得直线段 C3 所连 接成的折线段 C = C2 +C3 . 解：（1） ; ( ) 1 (0 1) C = C1 z t = − t + it t ，有： = − − − + = − + = 1 0 1 0 1 0 zdz (1 t it)( 1 i)dt (2t 1)dt i dt i c z = z(t) = x(t)+ iy(t) ( t ) z (t) , z (t) = x (t)+iy (t) f (z) f (z)dz f z(t)z (t)dt, c = ( ) Re f z dz = c f z(t)z (t)dt + i Imf z(t)z (t)dt