第五章留数及其应用(Residueand application)第一讲授课题目：$5.1孤立奇点教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远点的性态学时安排：2学时教学目标：1、掌握孤立奇点的分类2、理解并掌握各类奇点的特征3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极点的关系教学重点：孤立奇点的分类教学难点：各类奇点的特征教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：P32-13习题五：1-5板书设计：一、孤立奇点的分类二、各类奇点的特征三、函数的零点与极点的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第1
1 第五章 留数及其应用 (Residue and application) 第一讲 授课题目：§5.1 孤立奇点 教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极 点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远 点的性态 学时安排：2 学时 教学目标：1、掌握孤立奇点的分类 2、理解并掌握各类奇点的特征 3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极 点的关系 教学重点：孤立奇点的分类 教学难点：各类奇点的特征 教学方式：多媒体与板书相结合 作业布置： P132−133 习题五：1-5 板书设计：一、孤立奇点的分类 二、各类奇点的特征 三、函数的零点与极点的关系 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第
二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑教学过程：2
2 二版）2005 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等 教育出版社，2008 年 4 月. 课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类 2、基本掌握各类奇点的特征 3、课后要答疑 教学过程：
$5.1孤立奇点(Isolated singular point)一、孤立奇点的分类（Isolatedsingularpointsof）设函数f()在去掉圆心的圆盘D:0z-zR(0<R≤+)内解析，那么我们称z为f(=)的孤立奇点.在D内，f(=)有洛朗展式f(2)=- Zα,(z-z0),其中f()d5,(n=0,±1,±2..)dn2m Jc,(5 -20) α,(z-z)",为f(=)的解析C。是圆/z-z。 p(0<p<R). n=-0部分，艺α-α(=-=)",为 (2)的主要部分.n=l-0是Sinz1的孤立奇点.例1N21f(a):例2(n=12.）是它的孤立奇点1n元sinZ一般地，对于上述函数f(-)，按照它的洛朗展式含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：定义（Definition）5.1（1）若f(-)在z.的主要部分为零，3
3 §5.1 孤立奇点 (Isolated singular point) 一、孤立奇点的分类（Isolated singular points of） 设函数 f (z) 在去掉圆心的圆盘 : 0 | | (0 ) D z − z0 R R + 内 解析，那么我们称 0 z 为 f (z) 的孤立奇点.在 D 内， f (z) 有洛朗展 式 ( ) ( ) , 0 + =− = − n n n f z z z 其中 ,( 0, 1, 2,.) ( ) ( ) 2 1 1 0 = − = + C n n d n z f i C 是圆 | | (0 ) z − z0 = R . ( ) , 0 0 + =− − n n n z z 为 f (z) 的解析 部分， ( ) , 1 0 + = − − − n n n z z 为 f (z) 的主要部分. 例1 0 是 z e z z 1 , sin ， z 1 的孤立奇点. 例2 ( ) z f z 1 sin 1 = ， ( 1,2,) 1 0 = n = n z 是它的孤立奇点. 一般地，对于上述函数 f (z) ，按照它的洛朗展式含负幂的 情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下： 定义（Definition）5.1(1) 若 f (z) 在 0 z 的主要部分为零
则称=。为f(z）的可去奇点.(2）若f(=)在z。点的主要部分为有限多项。即α(m=1)d.α_1(α-m#0)(--0)(-0)++2-20则称=。为f(=）的m阶极点(3）若f(=）在z。点的主要部分有无限多项，则称zo为(2）的本性奇点.二、各类奇点的特征(The characteristics of various types of singularities)1、可去奇点（Removablesingularity）我们说z。是f(z）的可去奇点，或者说()在z。有可去奇点.这是因为令(=)=α，就得到在整个圆盘|z-zkR内的解析函数f(2)定理(Theorem)5.1 函数f(=)在D:0z-zokR(0<R≤+)内解析，那么二。是f(=)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，limf(a)=α%，其中α是一个复数证明：（必要性）.已知=。是f(z)的可去奇点，在0z-zR内，f()有洛朗展式：f(2)=α +α(z-z0)+...+α,(z-z0)" +..因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在4
4 则称 0 z 为 f (z) 的可去奇点. (2) 若 f (z) 在 0 z 点的主要部分为有限多项. 即 0 1 1 0 ( 1) 0 (z z ) (z z ) z z m m m m − + + − + − − − − − − ( −m 0 ) 则称 0 z 为 f (z) 的 m 阶极点. (3) 若 f (z) 在 0 z 点的主要部分有无限多项, 则称 0 z 为 f (z) 的本性奇点. 二、各类奇点的特征 (The characteristics of various types of singularities) 1、可去奇点(Removable singularity) 我们说 0 z 是 f (z) 的可去奇点，或者说 f (z) 在 0 z 有可去 奇 点. 这是因为令 0 0 f (z ) = ，就得到在整个圆盘 | z − z0 | R 内的解析函数 f (z) . 定理(Theorem)5.1 函数 f (z) 在 : 0 | | (0 ) D z − z0 R R + 内 解析，那么 0 z 是 f (z) 的可去奇点的必要与充分条件是：存在着 极限， 0 lim ( ) 0 = → f z z z ，其中 0 是一个复数. 证明：（必要性）.已知 0 z 是 f (z) 的可去奇点，在 0 | z − z0 | R 内， f (z) 有洛朗展式： ( ) ( ) . ( ) . = 0 + 1 − 0 + + − 0 + n n f z z z z z 因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是 R，所以它的和函数在
[z-zkR内解析，于是显然存在着limf(-)=αg.（充分性）设在0△z-zkR内，f(z)的洛朗展式是f(a)- Zα,(2-20)f(S)其中α,= 2m (/-2%)- ,(n = 0 ±1,±2.)已知limf(z)=αg，所以存在着两个正数M及p(≤R)，使得在0z-z内,If(=)kM,那么取p，使得0<p<Po，我们有la2-(n=0,±1,±2...)2元p"+p"当n<o时，在上式中令p趋近于0，就得到α，=0(n=-1-2,-3.）.于是z是f(=)的可去奇点定理（Theorem）5.1'设z。为f(=)的孤立奇点，则z。是f(2)的可去奇点的充分必要条件是：存在着某一个正数P(≤R)，使得f()在0z-zokpo内有界2.极点(Pole)设z.是f(=)的m阶极点.当m=1时，称z.是f(z)的单极点，当m>1时，称=是f(2)的m重极点5
5 | z − z0 | R 内解析，于是显然存在着 0 lim ( ) 0 = → f z z z . （充分性）设在 0 | z − z0 | R 内， f (z) 的洛朗展式是 ( ) ( ) , 0 + =− = − n n n f z z z 其中 ,( 0, 1, 2,.) ( ) ( ) 2 1 1 0 = − = + d n z f i n n 已知 0 lim ( ) 0 = → f z z z ，所以存在着两个正数 M 及 ( ) 0 R ，使得在 0 0 0 | z − z | 内， | f (z) | M , 那么取 ，使得 0 0 ，我们有 ( 0, 1, 2,.) 2 2 1 | | 1 = = + n M n M n n 当 n 0 时，在上式中令 趋近于 0， 就得到 = 0(n = −1,−2,−3,.) n .于是 0 z 是 f (z) 的可去奇点. 定理(Theorem) 5.1 设 0 z 为 f (z) 的孤立奇点，则 0 z 是 f (z) 的 可去奇点的充分必要条件是：存在着某一个正数 ( ) 0 R ，使得 f (z) 在 0 0 0 | z − z | 内有界. 2. 极点(Pole) 设 0 z 是 f (z) 的 m 阶极点.当 m =1 时，称 0 z 是 f (z) 的单极 点，当 m 1 时，称 0 z 是 f (z) 的 m 重极点