第一章复数与复变函数(Complexnumberandfunctionof thecomplexvariable)第一讲授课题目：$1.1复数S1.2复数的三角表示教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方学时安排：2学时教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义2、切实理解掌握复数的辐角3、掌握复数的表示教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义教学难点：复数的辐角教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：P,思考题：1、2、3.习题一：1-9板书设计：一、复数的模和辐角二、复数的表示三、复数的乘方与开方参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导）3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算-
1 第一章 复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲 授课题目：§1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、 复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2 学时 教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示 教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合. 作业布置： P27 思考题：1、2、3.习题一：1-9 板书设计：一、复数的模和辐角 二、复数的表示 三、复数的乘方与开方 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算
教学过程：2
2 教学过程：
引言复数的产生和复变函数理论的建立1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转，2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上：用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的.3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家Riemann和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.n
3 引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545 年，意大利数学家 Cardan 在解三次方程时，首先 产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时 是不可接受的.这种状况随着 17、18 世纪微积分的发明和给出 了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777 年，瑞士数学家 Euler 建立了系统的复数理论，发 现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的 一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用 符号 i 表示虚数单位，也是 Euler 首创的. 3、19 世纪，法国数学家 Cauchy、德国数学家 Riemann 和 Weierstrass 经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论 知直到今天都是比较完善的. 4、20 世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数 与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼 曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和 天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关 系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的 推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的 比较
第一章复数与复变函数$1.1复数(Complex number)一、复数的概念（Theconceptofcomplex）l、称x+iy为复数，其中x,yER，i=/-I是虚数单位；通常记为z=x+iy；2、x和y分别称为=的实部和虚部，分别记作x=Rez，y= Imz ;3、纯虚数：若x=0,y0,称z=x+iy(x,yR)为纯虚数；当Imz±0，那么==x+iv称为虚数；当Imz=0时，那么z=x就是一个实数；4、两个复数相等：复数=+和z=+相等是指它们的实部与虚部分别相等5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记=的共轭复数为=.设复数z=x+iy，则称x-iy为复数z的共轭复数（Conjugate），记作z=x-i注1：两个虚数之间不能比较大小例如，设i>0，则i·i>0·i，即-<0，矛盾注2：0=0+i0二、复数的四则运算（Complexnumberarithmetic）设z2=a,+ib,z,=a,+ib则4
4 第一章 复数与复变函数 §1.1 复数 (Complex number) 一、 复数的概念（The concept of complex） 1、称 x + iy 为复数，其中 x, y R，i = −1 是虚数单位；通常 记为 z = x + iy ； 2、 x 和 y 分别称为 z 的实部和虚部，分别记作 x = Re z ， y = Im z ； 3、纯虚数：若 x = 0, y 0, 称 z = x + iy(x, y R) 为纯虚数； 当 Imz 0 ，那么 z = x + iy 称为虚数；当 Imz = 0 时，那么 z = x 就是一个实数； 4、两个复数相等：复数 1 1 1 z = x +iy 和 2 2 2 z = x +iy 相等是指它 们的实部与虚部分别相等. 5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为 共轭复数.记 z 的共轭复数为 z .设复数 z = x + iy ，则称 x −iy 为复 数 z 的共轭复数（Conjugate），记作 z = x − iy 注 1：两个虚数之间不能比较大小. 例如，设 i 0 ，则 ii 0i ，即−1 0 ，矛盾. 注 2： 0 = 0 + i 0 二、复数的四则运算（Complex number arithmetic） 设 1 1 1 z = a +ib 2 2 2 z = a +ib 则
z±z=(a+ib)±(az+ib)=(a,±a)+i(b±b,)z/=2=(a, +ib,)(az +ib2)=(aa2 -b,b2)+i(abz +a,b)=(+b）b+bhb）（#0)a?+b222(az+ib,)a+b容易验证下列公式：(1)2±22=2)±22，(2)2:22=2°22，(3)()=(3, #0),2222(4) (z+2 =2Re(2),z-2 = 2ilm(2) ,zz = x? + y? =(Rez)? +(Imz)? ,(5) Rez=三+=mz=二-6)2i'22显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C.三、复平面（Complexplane）作映射：C→R:z=x+iy(x,y)，则在复数集与平面R之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表示实数，X轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y轴称为虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complexplane）或Z平面注3复平面一般称为z-平面，W-平面等5
5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 b1 b2 z z = a +ib a +ib = a a +i ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 a1b2 a2b1 z z = a +ib a +ib = a a −b b +i + 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ) a b a b a b i a b a a b b a ib a ib z z + − + + + = + + = （ 0 2 z ） 容易验证下列公式： (1) 1 2 1 2 z z = z z ， (2) 1 2 1 2 z z = z z ， (3) ( ) ( 0) 2 2 1 2 1 = z z z z z ， (4) z + z = 2Re(z),z − z = 2iIm(z) ， 2 2 2 2 zz = x + y = (Re z) + (Imz) ， (5) 2 Re z z z + = , i z z Im z 2 − = ，(6) (z) = z . 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律. 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为 C . 三、复平面（Complex plane） 作映射： : ( , ) 2 C → R z = x + iy x y ，则在复数集与平面 2 R 之间建立了一个 1-1 对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表 示实数，X 轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y 轴称为 虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面 （Complex plane）或 Z 平面. 注 3 复平面一般称为 z -平面， w-平面等