第九章拉普拉斯变换(TheLaplace transformation)第一讲授课题目：$9.1拉普拉斯变换的概念S9.2拉普拉斯变换的性质教学内容：1、拉普拉斯变换的定义2、拉普拉斯变换存在条件3、拉普拉斯变换的性质学时安排：2学时教学目标：1、正确理解拉普拉斯变换的定义2、了解拉普拉斯变换存在条件3、掌握拉普拉斯变换的性质教学重点：1、拉普拉斯变换的定义2、卷积和卷积定理教学难点：拉普拉斯变换的性质教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题九1-5板书设计：一、拉普拉斯变换的定义二、扌拉普拉斯变换存在条件三、拉普拉斯变换的性质主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社1987.1
1 第九章 拉普拉斯变换 （The Laplace transformation） 第一讲 授课题目：§9.1 拉普拉斯变换的概念 §9.2 拉普拉斯变换的性质 教学内容：1、拉普拉斯变换的定义 2、拉普拉斯变换存在条件 3、拉普拉斯变换的性质 学时安排：2 学时 教学目标：1、正确理解拉普拉斯变换的定义 2、了解拉普拉斯变换存在条件 3、掌握拉普拉斯变换的性质 教学重点：1、拉普拉斯变换的定义 2、卷积和卷积定理 教学难点：拉普拉斯变换的性质 教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法 作业布置：习题九 1-5 板书设计：一、 拉普拉斯变换的定义 二、 拉普拉斯变换存在条件 三、 拉普拉斯变换的性质 主要参考资料： 1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社， 1987
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003.3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000.课后记：1、理解了拉普拉斯积分变换的定义2、拉普拉斯积分变换存在条件，不能正确掌握3、掌握了拉普拉斯积分变换的性质教学过程2
2 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育 出版 2003. 3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社， 2000. 课后记：1、理解了拉普拉斯积分变换的定义 2、拉普拉斯积分变换存在条件，不能正确掌握 3、掌握了拉普拉斯积分变换的性质 教学过程
89.1拉普拉斯变换的概念(The conceptionand propertyof theLaplacetransformation)傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一样，人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进，一方面提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等：另一方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变换就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克雷条件，还要求在（-o0,+o0）上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数，有时也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中，许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪未英国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其为拉普拉斯积分变换。一、拉普拉斯变换的定义（DefinitionwhichRupprathvaries）定义（Definition）设函数f（t)是定义在[O,+oo上的实值函数，如果对于复参数s=β+jo，积分F(s)= Jof(t)e" dt3
3 §9.1 拉普拉斯变换的概念 (The conception and property of the Laplace transformation) 傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今 天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质 就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一样， 人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进.一方面提 高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等；另一 方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变换 就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克雷 条件，还要求在 ( , ) − + 上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶 积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数， 有时也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换 应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅 里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中， 许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅 里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪末英 国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普 拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其 为拉普拉斯积分变换. 一、 拉普拉斯变换的定义（Definition which Rupprath varies） 定义（Definition）设函数 f t() 是定义在 [0, ) + 上的实值函 数，如果对于复参数 s j = + ，积分 0 ( ) ( ) st F s f t e dt + − =
在复平面s的某一域内收敛，则称F(s)为f()的拉普拉斯变换，记为LLf(t)=F(s)=Jf(t)edt，称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换，记为f(t)=L[F(s)].，F(s)称为像函数，f()称为原像函数.事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系：FLf(t)u(1)e-P = [ f(t)u(t)e-Pe-a dt = J f(t)e-(β+jo)" dt令s=β+ jO,则 FLf()u(t)e-]=Jf(t)e" dt=F(s)=L[f(t)由此可以知道，f(t)的拉普拉斯积分变换就是f(t)u(t)e-β的傅里叶积分变换，首先通过单位阶跃函数u(t)使函数f(t)在t<0的部分为0,其次对函数f(t)在t>0的部分乘一个衰减的指数函数e-B以降低其增长速度，这样就有希望使函数f(t)u(t)e-满足傅里叶积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换例9.1分别求出单位阶跃函数u(t)，符号函数sgnt，f(t)=1的拉普拉斯积分变换，解: ()=F(s)=Jf()e"dt=Je"dt=}, (Res>0)SL[u()]=Ju()e"dt=Je"dt-}, (Res>0)[sgni]= J. sgn te"dt = J. e"dt =↓,，(Res>0)S例9.2求指数函数f(t)=e的拉氏变换（k为实数)解:4
4 在复平面 s 的某一域内收敛，则称 F s( ) 为 f t() 的拉普拉斯变换， 记为 ( ) 0 [ ( )] ( ) st f t F s f t e dt + − = = L ，称 f t() 为 F s( ) 的拉普拉斯逆 变换，记为 1 f t F s ( ) [ ( )]. − = L ，F s( ) 称为像函数， f t() 称为原像函 数. 事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积 分变换的关系: [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) t t j t f t u t e f t u t e e dt + − − − − = F ( ) 0 ( ) j t f t e dt + − + = 令 s j = + ，则 [ ( ) ( ) ]t f t u t e− F = ( ) 0 ( ) st f t e dt F s + − = =L[ ( )] f t . 由此可以知道， f t() 的拉普拉斯积分变换就是 ( ) ( ) t f t u t e− 的傅里 叶积分变换，首先通过单位阶跃函数 ut() 使函数 f t() 在 t 0 的部 分为0，其次对函数 f t() 在 t 0 的部分乘一个衰减的指数函数 t e − 以降低其增长速度，这样就有希望使函数 ( ) ( ) t f t u t e− 满足傅里叶 积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换. 例9.1 分别求出单位阶跃函数 ut() ，符号函数 sgnt ，f t( ) 1 = 的拉普拉斯积分变换. 解： ( ) 0 [ ( )] ( ) st f t F s f t e dt + − = = L 0 st 1 e dt s + − = = ，(Re 0) s 0 0 1 [ ( )] ( ) st st u t u t e dt e dt s + + − − = = = L ，(Re 0) s 0 0 1 [sgn ] sgn st st t te dt e dt s + + − − = = = L ，(Re 0) s 例9.2 求指数函数 ( ) kt f t e = 的拉氏变换(k为实数). 解 ：
CLf(t)]-f ee-"dt=f, e-(s-k"dt=fe-(s-kdt=-s-k所以 [e"]=二(Re(s)>k)s-k二、拉普拉斯积分变换存在条件（Laplasseintegral existconditions)拉氏变换的存在定理（Laplassetheexistence oftransformationtheorems）：若函数f(t)满足：(1）在t≥0的任一有限区间上分段连续：(2)当t一+oo时，f()的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M>0及c≥0，使得I f(t)≤ Met, (0 ≤t< +0)则f(t)的拉氏变换F(s)=f(t)e-dt在半平面Re(s)>c上一定存在，并且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数证明设s=β+jo，则le-=e-，所以I F(s) H Jo f(t)e-" t|≤MJte-(β-c"r dt由Re(s)=β>c，可以知道右端积分在上半平面上收敛.关于解析性的证明省略。注1：大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在（常义下）；注2：存在定理的条件是充分但非必要条件对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在，5
5 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 [ ( )] e e d e d e d e kt st s k t s k t s k t f t t t t s k s k + + + + − − − − − − − = = = = − = − − L 所以 1 [e ] (Re( ) ). kt s k s k = − L 二 、 拉 普 拉斯积分变换存在条件（Laplasse integral exist conditions） 拉 氏 变 换 的 存 在 定 理 （ Laplasse the existence of transformation theorems）： 若函数 f t() 满足: (1) 在t 0的任一有限区间上分段连续; (2) 当 t → + 时, f t() 的增长速度不超过某一指数函数, 即存 在常数 M > 0及c 0, 使得 | ( ) | ,(0 ) ct f t Me t + 则 f t() 的拉氏变换 0 ( ) ( )e dst F s f t t + − = 在半平面 Re( )s c 上一定 存在, 并且在 Re( )s c 的半平面内, F s( ) 为解析函数. 证明 设 s j = + ，则 | | st t e e − − = ，所以 ( ) ( ) 0 0 | | | ( ) | st c t F s f t e dt M e dt + + − − − = 由 Re( )s c = ，可以知道右端积分在上半平面上收敛. 关于解析性的证明省略. 注1:大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件. 对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存 在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在