第二章解析函数(Analyticfunction)第一讲授课题目：$2.1解析函数的概念$2.2解析函数与调和函数的关系教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调和函数的关系，学时安排：2学时教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性3、了解复变函数导数的定义教学重点：函数解析的充分必要条件教学难点：解析函数与调和函数的关系教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：Ps,思考题：1、2、习题二：1-12板书设计：一、解析函数的概念二、函数解析的充分必要条件三、解析函数与调和函数的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005-
1 第二章 解析函数 （Analytic function） 第一讲 授课题目：§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数与调和函数的关系 教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充 分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调 和函数的关系. 学时安排：2 学时 教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念 2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性 3、了解复变函数导数的定义 教学重点：函数解析的充分必要条件 教学难点：解析函数与调和函数的关系 教学方式：多媒体与板书相结合 作业布置： P51 思考题：1、2、习题二：1-12 板书设计：一、解析函数的概念 二、函数解析的充分必要条件 三、解析函数与调和函数的关系 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出 版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等 教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005
年5月，4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月福课后记事：1、解析函数的概念基本掌握2、函数解析的充分必要条件掌握不太好3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活4、加强课后辅导教学过程：2
2 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等教 育出版社，2008 年 4 月. 课后记事：1、解析函数的概念基本掌握 2、函数解析的充分必要条件掌握不太好 3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活 4、加强课后辅导 教学过程：
s2.1解析函数的概念(Theconceptionof analyticfunction)一、复变函数的导数（Derivativeofcomplexfunction）定义（Definition）2.1设w=f(z)是在z的某邻域内有定义，对于邻域内任一点。+△z.如果J(=。+A)-f(=0)limA→0A存在有限的极限值复数A，则称f(=)在z.处可导，极限A称为(a)在=处的导数，记作F(=)，或，即dz /==f(=o +4z)- f(z0)F(=0)= lim K由此可得w=f(=)+o(I(z→0)称f(=。)μ-为函数f(=)在=。处的微分，也称函数f()在z。处可微。记作df(=0)= f'(-0)dz说明：（1）△z→0是按任意方式趋于零：(2）F(=)在z。可导与f(=)在z可微等价；(3）若f(-)在=处可导，则f(-)在=处连续(4）当→0时，会的极限不存在，称(=)在不可导.Az若w=f(2)是在点z连续，但w=f(2)在点z不一定可导并且在复变函数中处处连续但又处处不可微的函数很多3
3 §2.1 解析函数的概念 (The conception of analytic function) 一、复变函数的导数（Derivative of complex function） 定义（Definition）2.1 设 w = f (z) 是在 0 z 的某邻域内有定 义，对于邻域内任一点 z + z 0 .如果 z f z z f z o z + − → ( ) ( ) lim 0 0 存在有限的极限值复数 A ，则称 f (z) 在 0 z 处可导，极限 A 称为 f (z) 在 0 z 处的导数，记作 '( ) 0 f z ，或 0 dz z z dw = . 即 z f z z f z f z z ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 0 + − = → '( ) (| |) ( z 0) 由此可得w = f z0 z + o z → ( ) df (z ) f (z )dz f z z f z z f z z 0 0 0 0 0 '( ) ( ) = 称 为函数 在 处的微分，也称函数 在 处可微。记作 说明： （1） z →0 是按任意方式趋于零； （2） ( ) ( ) ; f z 在z0可导与f z 在z0可微等价 ( ) ( ) f (z) z . z w ( ) z ( ) f z z f z z ; 当 时， 的极限不存在，称 在 不可导 若 在 处可导，则 在 处连续 0 0 0 4 0 3 → 若 w = f (z) 是在点 0 z 连续，但 w = f (z) 在点 0 z 不一定可导. 并且在复变函数中处处连续但又处处不可微的函数很多
例1设f()=Rez.证明：f()在z平面上处处连续，但处处不可导。证明对于复平面上任意一点z，ArAf_Re(z+z)-Re(z)_x+△r-xAzAzAr+iAyAr+iAy当4取实数趋于0时，4f±z→1;lim不存在04当4取纯虚数趋于0时，4f/4z→0,即(z）在z不可导，由于z的任意性，f(z）在复平面上任何点都不可导学生课堂练习：F(=)=三在z平面上处处连续，但处处不可导二、解析函数的概念与求导法则（Resolutionandreportthe concept of function to laws)1、解析函数的概念（Analyticfunctionconcept）定义（Definition）2.2如果f(=)在z。及z。的某个邻域内处处可导，则称f(=)在z。处解析.如果f(-)在区域D内处处解析，则我们称f(-)在D内解析，也称f(=)是D的解析函数如果f(=)在区域G内解析，而闭区域D上每一点都属G,那么称f(=)在闭区域D上解析注1解析函数这一重要概念，是与区域密切相关的注2(z)在区域D内解析，指f(z)在区域D内处处可导注3若函数在一点可导，则函数必然在这点连续注4函数在一点的可导性是一个局部概念，而解析性是一4
4 例 1 设 f (z) = Re z . 证明： f (z) 在 z 平面上处处连续，但处 处不可导. x i y x x i y x x x z z z z z f z + = + + − = + − = Re( ) Re( ) 证明 对于复平面上任意一点 , lim . 0 , 0; 0 , 1; 0 不存在 当 取纯虚数趋于 时 当 取实数趋于 时 z f z f z z f z z → → → 即f (z)在z不可导，由于z的任意性，f (z)在复平面上任何点都不可导. 学生课堂练习： f (z) = z 在 z 平面上处处连续，但处处不可导. 二、 解析函数的概念与求导法则（Resolution and report the concept of function to laws） 1、解析函数的概念（Analytic function concept） 定义（Definition）2.2 如果 f (z) 在 0 z 及 0 z 的某个邻域内 处处可导，则称 f (z) 在 0 z 处解析. 如果 f (z) 在区域 D 内处处解析，则我们称 f (z) 在 D 内解析， 也称 f (z) 是 D 的解析函数. ( ) . ( ) , 称 在闭区域 上解析 如果 在区域 内解析，而闭区域 上每一点都属 那么 f z D f z G D G 注 1 解析函数这一重要概念，是与区域密切相关的. 注 2 f (z) 在区域 D 内解析，指 f (z) 在区域 D 内处处可导. 注 3 若函数在一点可导，则函数必然在这点连续. 注 4 函数在一点的可导性是一个局部概念，而解析性是一
个整体概念；注5函数在一点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一点的可导性不能得到在这个点解析2、导数的四则运算法则（Aderivativeofthealgorithms）：设f(z)和g(z)在区域D内解析，那么f(=)土g(=)，f(z)g(a)，f(a)/g(=)（分母不为零）也在区域D内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(f(z)±g(z))=f(z)±g(z)[f(z)g(z)1'=f'(z)g(z)+f(z)g(z)'(z)g(z)-f(z)g(z)f(z)g(z)[g(z)23、复合函数求导法则（Compositefunctiontolawson）：设=f(z)在z平面上的区域D内解析，w=g()在平面上的区域D,内解析，而且当zeD时，=f(a)eD，则复合函数W=gLf(=))=h(=)在D内解析，并且有h'(=)=[g(f(=))}=g'(f(-))f(-)4、反函数的求导法则（Inversefunctionderivativerule)：设w=f(-)是在区域D内解析，且f(=)+0，反函数z=-(w)=p(w)存在且连续，则(w):/=(m) = ((w)f'(-)5
5 个整体概念； 注 5 函数在一点解析，是指在这个点的某个邻域内解析， 因此在此点可导；反之，在一点的可导性不能得到在这个点解析. 2、导数的四则运算法则（A derivative of the algorithms）： 设 f (z) 和 g(z) 在区域 D 内解析，那么 f (z) g(z)，f (z)g(z)， f (z)/ g(z) （分母不为零）也在区域 D 内解析，并且有下面的导数 的四则运算法则： [ ( ) ( )]' '( ) ( ) ( ) '( ) ( ( ) ( ))' '( ) '( ) f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z = + = 2 [ ( )] '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) g z f z g z f z g z g z f z − = . 3、复合函数求导法则（Composite function to laws on）： 设 = f (z) 在 z 平面上的区域 D 内解析， w = g( ) 在 平面上 的区域 D1 内解析，而且当 z D 时， 1 = f (z)D ，则复合函数 w = g[ f (z)] = h(z) 在 D 内解析，并且有 h'(z) = [g( f (z))]' = g'( f (z)) f '(z) 4、反函数的求导法则(Inverse function derivative rule)： 设 w = f (z) 是在区域 D 内解析，且 f (z) 0 ， 反 函 数 z = f w = (w) − ( ) 1 存在且连续，则 ( ) ( ) f z f ( (w)) w z w = = = 1 1 ( )