第六章共形映射(The Conformal mapping)第一讲授课题目：S6.1共形映射的概念：86.2共形映射的基本问题教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性。学时安排：2学时，教学目标：1、理解导数的几何意义；2、弄清共形映射的概念；3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性；教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学方式：多媒体与板书相结合，作业布置：P164习题六：1-3板书设计：一、导数的几何意义；二、共形映射的概念；三、解析函数的保域性与边界对应原理；四、共形映射的存在唯一性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；1
1 第六章 共形映射 （The Conformal mapping） 第一讲 授课题目：§6.1 共形映射的概念；§6.2 共形映射的基本问题 教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域 性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性. 学时安排：2 学时. 教学目标：1、理解导数的几何意义； 2、弄清共形映射的概念； 3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映 射的存在唯一性； 教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理； 教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理； 教学方式：多媒体与板书相结合. 作业布置： P164 习题六：1-3 板书设计：一、导数的几何意义； 二、共形映射的概念； 三、解析函数的保域性与边界对应原理； 四、共形映射的存在唯一性 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出 版社； 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等 教育出版；
3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月课后记事：1、基本掌握共形映射的概念；2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理：教学过程：2
2 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第 二版）2005 年 5 月 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等教 育出版社，2008 年 4 月 课后记事：1、基本掌握共形映射的概念； 2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理； 教学过程：
36.1共形映射的概念(The conceptionof conformalmapping)一、导数的几何意义（Geometricmeaningofderivative）1、解析变换的保域性（Transformdomainofsecurityanalysis)解析函数所确定的映射是共形映射.它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用.如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题.我们主要研究单叶解析函数的映射性质注1：单叶函数是一个单射的解析函数例1函数w=z+α及w=z是=平面上的单叶解析函数它们把=平面映射成w平面，其中α是复常数，并且对于第二个映射α0.例2w=e"在每个带形a<Imz<a+2元,内单叶解析，并且把这个带形区域映射成w平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，，其中a是任意实常数引理（Lemma）：设函数f(z)在z=z。解析，并且w。=f(zo）设 f(zo)= f"(zo)=..= f(p-I(zo)=0, f(P)(=o)+0(p=1,2,3...),那么f(=)-w在z。有p阶零点，并且对充分小的正数p，存在着一个正数μ，使得当0w-wμ时，f(z)-w在0z-zp内有P个一阶零点3
3 §6.1 共形映射的概念 (The conception of conformal mapping) 一、导数的几何意义（Geometric meaning of derivative） 1、解析变换的保域性（Transform domain of security analysis） 解析函数所确定的映射是共形映射.它是复变函数论中最重要的 概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多 领域有重要的应用.如应用共形映射成功地解决了流体力学与空 气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许 多实际问题.我们主要研究单叶解析函数的映射性质. 注 1：单叶函数是一个单射的解析函数. 例 1 函数 w = z + 及 w=z 是 z 平面上的单叶解析函数它 们把 z 平面映射成 w 平面，其中 是复常数，并且对于第二个映 射 0. 例 2 z w = e 在每个带形 a Im z a + 2 , 内单叶解析，并且 把这个带形区域映射成 w 平面上除去从原点出发的一条射线而 得的区域，其中 a 是任意实常数. 引理（Lemma）：设函数 f (z) 在 0 z = z 解析，并且 ( ) 0 0 w = f z . 设 '( ) ''( ) . ( ) 0, ( ) 0( 1,2,3.) 0 ( ) 0 ( 1) 0 = 0 = = = = − f z f z f z f z p p p ，那 么 0 f (z) − w 在 0 z 有 p 阶零点，并且对充分小的正数 ，存在着一 个正数 ，使得当 0 | w− w0 | 时， f (z) − w 在 0 | z − z0 | 内 有 p 个一阶零点
证明：由已知条件可知f(=)-w在z有p阶零点.由于f(=)不恒等于零，作以z为心的开圆盘D1z-zp，其边界为C使得f(=)在D=DUC上解析，并且使得f(z)-w及f(z)除去Z=2。外在D上无其它零点.有min 1f(z)-woμ>0取w，使0w-wμ.由儒歇定理，比较f(z)-w及f(=)-wo在内D的零点的个数.由于f(2)-w=(f(=)-wo)+(w -w)而当zEC时If()-wμ>-w0可见f(=)-w及f(=)-W在D内的零点个数同为p（每个n阶零点作n个零点）.因为，所以z20，而[(2)-W[=±0所以f(=)-w在D内的每个零点都是一阶的由此引理可证明下面定理定理(Theorem)6.1、设函数f(=)在区域D内单叶解析，则VzeD,有f(=)0注2：这个定理的逆定理不成立，例如w=e的导数在z平面上任意一点不为零，而w=e在整个z平面上不是单叶的4
4 证明：由已知条件可知 0 f (z) − w 在 0 z 有 p 阶零点.由于 f (z) 不恒等于零，作以 0 z 为心的开圆盘 D :| z − z0 | ，其边界为 C ， 使得 f (z) 在 D = D C 上解析，并且使得 0 f (z) − w 及 f (z) 除去 0 z = z 外在 D 上无其它零点.有 min | ( ) − 0 |= 0 f z w z C 取 w ，使 0 | w− w0 | .由儒歇定理，比较 f (z) − w 及 0 f (z) − w 在内 D 的零点的个数.由于 ( ) ( ( ) ) ( ), f z − w = f z − w0 + w0 − w 而当 zC 时 | ( ) | | | 0, f z − w0 w0 − w 可见 f (z) − w 及 0 f (z) − w 在 D 内的零点个数同为 p（每个 n 阶零 点作 n 个零点）.因为 w w0 ，所以 0 z z ，而 [ ( ) ]' 0 0 − z z f z w . 所以 f (z) − w 在 D 内的每个零点都是一阶的. 由此引理可证明下面定理 定理(Theorem)6.1、设函数 f (z) 在区域 D 内单叶解析，则 z D ，有 f '(z) 0. 注 2：这个定理的逆定理不成立，例如 z w = e 的导数在 z 平 面上任意一点不为零，而 z w = e 在整个 z 平面上不是单叶的
定理(Theorem)6.2设函数w=f(=)在z=z。解析，并且f"(zo)±0，那么f(=)在z。的一个邻域内单叶解析.定理（Theorem)6.3设函数w=f(z)在区域D内解析，并且不恒等于常数，则D,=f(D)是一个区域.注3：如果w=f(z)在区域D内单叶解析，根据定理6.3，它把区域D双射成区域f(D).于是f(=)有一个在f(D)内确定的反函数z=(w).定理（Theorem)6.4设函数f(2)在区域D内单叶解析，则w=f(z)在f(D)内存在单叶解析的反函数z=(w)，且1p'(w) =F(日)证明：考虑以下思路：Vwf(D)，有VzDp(w)-p(w)_ z-z0/w-Wow-wow-Wo-Z0因为当w→w时，≥=p(w)→z。=(=)，所以1f(=)-f(=o)lim (w) -0(wo)w-Woimlimf'(zo)w-Wo→36Z-20Z即可给出定理的证明2、导数的几何意义（Geometricmeaningofderivative)设函数w=f(-)是区域D内的单叶解析函数5
5 定 理 (Theorem)6.2 设函数 w = f (z) 在 0 z = z 解析，并且 f '(z0 ) 0 ，那么 f (z) 在 0 z 的一个邻域内单叶解析. 定理(Theorem)6.3 设函数 w = f (z) 在区域 D 内解析，并且 不恒等于常数，则 ( ) D1 = f D 是一个区域. 注 3：如果 w = f (z) 在区域 D 内单叶解析，根据定理 6.3， 它把区域 D 双射成区域 f (D) .于是 f (z) 有一个在 f (D) 内确定 的反函数 z = (w) . 定理(Theorem)6.4 设函数 f (z) 在区域 D 内单叶解析，则 w = f (z) 在 f (D) 内存在单叶解析的反函数 z = (w) ，且 . '( ) 1 '( ) f z w = 证明：考虑以下思路： ( ) w0 f D ，有 z0 D 1 , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z z w w w w z z w w w w − − = − − = − − 因为当 w → w0 时， ( ) ( ) 0 0 z = w → z = z ，所以 , '( ) ( ) ( ) 1 1 lim 1 lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z z f z f z f z z z w w w w w w w w z z z z = − − = − − = − − → → → 即可给出定理的证明. 2、导数的几何意义(Geometric meaning of derivative) 设函数 w = f (z) 是区域 D 内的单叶解析函数