第四章解析函数的级数表示(The representation of power series of analyticfunction)第一讲授课题目：S4.1复数项级数S4.2复变函数项级数教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级数和函数的解析性，学时安排：2学时教学目标：1、正确理解条件收敛与绝对收敛2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质，3、正确掌握幕级数和函数的解析性教学重点：复数项级数教学难点：幂级数和函数的解析性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：Pi00-10思考题：1、2、习题三：1-5板书设计：一、幂级数二、幂级数收敛半径R的求法三、幂级数和函数的解析性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高
第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function) 第一讲 授课题目：§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数 项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级数和 函数的解析性. 学时安排：2 学时 教学目标：1、正确理解条件收敛与绝对收敛 2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛 半径，了解幂级数的运算和性质. 3、正确掌握幂级数和函数的解析性 教学重点：复数项级数 教学难点：幂级数和函数的解析性 教学方式：多媒体与板书相结合 作业布置： P100−101 思考题：1、2、习题三：1-5 板书设计：一、幂级数 二、幂级数收敛半径 R 的求法 三、幂级数和函数的解析性 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高
等教育出版3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月，课后记事：1、会熟练求幂级数的收敛半径2、基本掌握幂级数和函数的解析性3、课后要答疑教学过程：s4.1复数项级数(Seriesof complexterms)一、复数序列的极限（Limitofthepluralarray）设(=,（n=1,2.)为一复数序列，其中z,=a+ibi,2=a2+ib2...z,=an+ibn...按照=,1是有界或无界序列，来定义(,为有界或无界序列设=是一个复常数.如果任给8>0，可以找到一个正数N，使得当n>N时，有Izn-z0k8,那么我们说(,）收敛或有极限=。，或者说）是收敛序列，并且
等教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第 二版）2005 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等 教育出版社，2008 年 4 月. 课后记事：1、会熟练求幂级数的收敛半径 2、基本掌握幂级数和函数的解析性 3、课后要答疑 教学过程： §4.1 复数项级数 (Series of complex terms) 一、复数序列的极限（Limit of the plural array） 设 { }n z (n =1, 2, ) 为一复数序列，其中 , ,., ,. 1 1 1 2 2 2 n n n z = a + ib z = a + ib z = a + ib 按 照 {| |} n z 是有界或无界序列，来定义 { }n z 为有界或无界序列. 设 0 z 是一个复常数.如果任给 0 ，可以找到一个正数 N ， 使得当 n N 时，有 | − | 0 z z n , 那么我们说 { }n z 收敛或有极限 0 z ，或者说 { }n z 是收敛序列，并且
收敛于z。，记作lim=,=20如果序列(-,)不收敛，则称(,)发散，或者说它是发散序列.定理（Theorem）4.1设zo=a+ibzn=an+ibn(n=1,2,)，则limzn=z的充分必要条件是lima,=a,limb,=b,证明：由下列不等式la,-a|及b,-b=,-za,-a|+|b,b可知，limz,=zlima,=a,limb,=b,因此，有下面的注解：注1：复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列(=)收敛于≥0’注2：利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差、积、商。二、复数项级数及其敛散性（ComplexandtheConvergenceof Series)设(,（n=1,2.）为一复数序列，表达式Zi+z2+..+zn+..称为复数项级数.记作，其部分和序列为：S, =z,+z2+...+zn
收敛于 0 z ，记作 0 lim z z n n = →+ . 如果序列 { }n z 不收敛，则称 { }n z 发散，或者说它是发散序列. 定理（Theorem）4.1 设 z0 = a + ib n n n z = a + ib (n =1, 2, ) ，则 0 lim z z n n = →+ 的 充分必要条件是 lim a a, lim b b, n n n n = = →+ →+ 证明：由下列不等式 | | | | | | | | | | 0 a a b b z z a a b b n − 及 n − n − n − + n − 可知， = →+ 0 lim z z n n lim a a, lim b b, n n n n = = →+ →+ 因此，有下面的注解： 注 1：复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列 { }n z 收敛于 0 z ， 注 2：利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两 个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极 限的和、差、积、商. 二、复数项级数及其敛散性(Complex and the Convergence of Series) 设 { }n z (n =1, 2, ) 为一复数序列，表达式 . . z1 + z2 + + zn + 称为复数项级数.记作 + n=1 n z ，其部分和序列为： n n S = z + z + . + z 1 2
如果序列(S收敛，那么就称级数节-收敛：如果limS，=S，合那么说艺的和是S，或者说，收敛于S，记作二n=Z=,=a'=如果序列S发散，那么就称级数发散r=例1当|zk1时，判断级数1+z+z?+..+z"+..是否收敛？解：部分和1-≥+11S,=1+z+z?+...+z"1-z1-z1-2当|zk1时，有lim」zn+=0，从而有+12+1lim0=lim-0n-001-zZ1所以limS这就是说，当z<1时，级数1-z1+z+z?+.+z"+..1收敛，其和为一，即当|zkl时.1+z+2?+..+z"+...1-2定理（Theorem）4.2设=，=a,+ib，，则级数艺z，收=1敛的充分必要条件是≥，与≥b，都收敛.-定理（Theorem）4.3级数艺=，收敛的必要条件是n=1
如果序列 { }n S 收敛，那么就称级数 + n=1 n z 收敛；如果 Sn S n = → lim ， 那么说 + n=1 n z 的和是 S ，或者说 + n=1 n z 收敛于 S ，记作 = + n=1 n z ， 如果序列 { }n S 发散，那么就称级数 + n=1 n z 发散. 例 1 当 | z | 1 时，判断级数 1 . . 2 + + + + + n z z z 是否收敛？ 解：部分和 z z z z z S z z z n n n n − − − = − − = + + + + = + + 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 当 | z | 1 时，有 lim 0 1 = + →+ n n z ，从而有 0 1 0 lim 1 lim 1 1 = − = − + → + →+ z z z z n n n n 所以 z Sn n − = →+ 1 1 lim ，这就是说，当 | z | 1 时，级数 1 . . 2 + + + + + n z z z 收敛，其和为 1− z 1 ，即当 | z | 1 时 z z z z n − + + + + + = 1 1 1 . . 2 定理（Theorem）4.2 设 n n n z = a + ib ，则级数 + n=1 n z 收 敛的充分必要条件是 + n=1 an 与 + n=1 bn 都收敛. 定 理 （ Theorem ） 4.3 级 数 + n=1 n z 收敛 的 必 要条件是
lim=,=0,证明：因为级数收敛的充分必要条件是产，与x二n=l艺，都收敛，，再由实级数x，与，收敛的必要条件是=n=llim x" =0lim y" =0-定理（Theorem）4.4若级数产1=，收敛，则级数2n=也收敛.2,=,1收敛，则称绝对收敛定义4.1若级数h=In=l非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛例2判别下列级数的收敛性i心(2)(3)(1)2″栏（n= n解：（1）发散（2）条件收敛（3）绝对收敛注3：关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，如：柯西收敛原理（复数项级数）：级数又。收敛必要与充分条n=l件是：任给ε>0，可以找到一个正数N，使得当n>N时，对任意正整数P，有I2n++ +2n+2 +..+2n+p k?本节重点掌握：（1）复数项级数及其敛散性判别法
lim = 0, →+ n n z 证明：因为级数 + n=1 n z 收敛的充分必要 条件 是 + n=1 n x 与 + n=1 n y 都收敛，再由实级数 + n=1 n x 与 + n=1 n y 收敛的必要条件是 lim = 0 →+ n n x lim = 0 →+ n n y 定理（Theorem）4.4 若级数 + n=1 n z 收敛，则级数 + n=1 n z 也收敛. 定义 4.1 若级数 | | 1 n= n z 收敛, 则称 n=1 n z 绝对收敛. 非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛. 例 2 判别下列级数的收敛性 （1） = + 1 2 1 n n i n （2） n=1 n n i （3） =1 2 n n n i 解：（1）发散 （2）条件收敛 （3）绝对收敛 注 3：关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推 广到复数项级数，如： 柯西收敛原理（复数项级数）：级数 n=1 n z 收敛必要与充分条 件是：任给 0 ，可以找到一个正数 N ，使得当 n N 时， 对任意正整数 P ，有 + + + + + + | . | n 1 n 2 n p z z z 本节重点掌握： （1）复数项级数及其敛散性判别法