《复变函数与积分变换》课程教学资源（教案讲义）第三章 复变函数的积分（Integration of function of thecomplex variable）

(2) C, :z(t)=1-t(0≤t≤1),C, : z2(t)= i(0≤t≤1), 有:J =dz = J zdz + J=dz = -f(1-1)dt + f"tdt = 0例 2计算I=,=dz其中C是(1)连接－到i的直线段：（2)连接-i到i的单位圆的左半圆(3)连接－到i的单位圆的右半圆解：(I)-到i的直线段的参数方程为：z=it,-1<t≤1,于是jilidt=2if'tdt=2i- ["=i1= dz=2(2)单位圆的左半圆的参数方程为==e",从到，于是22元元元25atdeitdz=-e"idt=2i3元3元6.71222(3)单位圆的右半圆的参数方程为z=e"t,t从0到2元"=21[ e"|d(e")=e":=-2上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关dz例3其中n为任意整数，C为以z为中心r为半径的圆周解C的参数方程为z=z+rei0≤0<2元，由公式得6

6 （2） : ( ) 1 (0 1), : ( ) (0 1). C2 z1 t = −t  t  C3 z2 t = it  t  ，有：      = + = − − + = 1 0 1 0 (1 ) 0 3 2 zdz zdz zdz t dt tdt c c c 例 2 计算 z dz i i I  − = 其中 C 是 (1)连接− i到i 的直线段；(2)连接− i到i 的单位圆的左半圆 (3)连接− i到i 的单位圆的右半圆 解： z dz it idt i tdt i t i i i I i z it t = =  = − = − = − = −      1 2 2 1 2 0 1 2 1 1 (1) , 1 1,  到i的直线段的参数方程为： 于是 z dz e e idt de e i i i I z e t ， i t i t i t i t i t 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 (2) , 2 2 =  = = 3 = − = =            单位圆的左半圆的参数方程为 从 到 于是 I z dz e d e e i z e t ， i i t i t i t i i t ( ) 2 (3) , 0 2 2 2 2 2 = = = = = − −  −      单位圆的右半圆的参数方程为 从 到  上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关 例 3 ( 0 ) n C dz z z −  ，其中 n 为任意整数， C 为以 0 z 为中心， r 为半径的圆周. 解 C 的参数方程为 0 ,0 2 i z z re  = +     ，由公式得

e-i(n-1)e de""emdo**J.°cos(n-1)odo +二J° sin(n-1)odon=1[2元i,n=l,10,n+1.此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点例4计算【zdz，其中C为从原点到点3+4i的直线段解：此直线方程可写作x=3t,y=4t,0≤t≤1或z=3t+i4t,0≤t≤1在C上，z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt，于是J,zdz = J(3+ 4i) tdt =(3+ 4i) f"tdt = (3 + 4i)2因J zdz= J.(x+iy)(dx+idy)=J,xdx- ydy+if. ydx+ xdy易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以zdz的值，不论是对怎样的连接原点到3+4i的曲线，都等于(3+4i)例5设C是圆|z-αp，其中α是一个复数，p是一个正数，则按逆时针方向所取的积分dz=2元i-αz-α=peio证明：令7

7 ( ) 2 2 ( 1) 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 cos( 1) sin( 1) 2 , 1, 0, 1. i i n n n in n C n n dz ire i d e d z z r e r i i n d n d r r i n n               − − − − − = = − = − + −  = =         此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周 的中心和半径没有关系，应记住这一特点. 例 4 计算 C zdz  ，其中 C 为从原点到点 3 4 + i 的直线段. 解： 此直线方程可写作 x t y t t = =   3 , 4 ,0 1 或 z t i t t = +   3 4 ,0 1. 在 C 上， z i t dz i dt = + = + (3 4 ) , (3 4 ) ，于是 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 1 3 4 3 4 3 4 C 2 zdz i tdt i tdt i = + = + = +    . 因 ( )( ) C C C C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy = + + = − + +     易验证，右边两个线积分都与路线 C 无关，所以 C zdz  的值，不 论是对怎样的连接原点到 3 4 + i 的曲线，都等于 ( ) 1 2 3 4 2 + i . 例 5 设 C 是圆 | z − |=  ，其中  是一个复数，  是一个 正数，则按逆时针方向所取的积分 i z dz C   = 2 −  证明：令    i z − = e

于是dz=pieide,dz从而id0=2元JC-三、复变函数积分的基本性质（Complexintegrationofthe basic nature)设f(=)及g(=)在简单曲线C上连续，则有(1）kf(=)dz=k/.f(=)dz,其中k是一个复常数(2) [Lf(z)±g(z)]dz= [, f(z)dz±[,g(z)dz;3JF(=)dz = J, (2)dz + J, (=)dz +.+ Je. (2)dz其中曲线C是有光滑的曲线CC...C,连接而成；(4) J(=)dz=-J.(=)dz定理3.2（积分估值）如果在曲线C上，f(=)≤M，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有(5)1, f(z)d≤ J,17(=)ld|≤ ML ,证明：因为125(5-)M2- M=两边取极限即可得：,(=)d[,(=)ML例6试证：lml三0 J--r1+22d2 =0证：不妨设r<1，我们用估值不等式（5）式估计积分的模因为在日=r上，8

8 于是    d d i z = ie ， 从而 id i z dz C     2 2  0 = = − 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature) 设 f (z) 及 g(z) 在简单曲线 C 上连续，则有 （1） kf z z k f z z 其中k是一个复常数 C C ( )d ( )d ,   = （2） [ ( ) ( )]d ( )d ( )d ;     =  C C C f z g z z f z z g z z （3）     = + + + C C C Cn f (z)dz f (z)dz f (z)dz . f (z)dz 1 2 其中曲线 C 是有光滑的曲线 C C Cn , ,., 1 2 连接而成； （4）   − = − C C f (z)dz f (z)dz 定理 3.2（积分估值） 如果在曲线 C 上， f (z)  M ，而 L 是曲线 C 的长度，其中 M 及 L 都是有限的正数，那么有 f z z f (z) dz ML C C     | ( )d | ， （5） 证明：因为 f z z M z z k ML n k k k n k  k k −   −  − = + − = + | ( )( )| | | 1 1 1 1 1  1 两边取极限即可得： f z z f (z) dz ML C C     | ( )d | 例 6 试证： →  = = r z r + dz z z 0 1 lim 2 3 0 证:不妨设 r  1 ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模， 因为在 z = r 上

2元-r21+1+2上式右端当r→0时极限为0，故左端极限也为0，所以3lim /90 J--r1+23d2=0本节重点掌握：（1）复变函数积分的计算：（2）复变函数积分的基本性质$3.2柯西积分定理(Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理（Theorem)3.3设f(=)是在单连通区域D内的解析函数，则f(z)在D内沿任意一条闭曲线C的积分.F(z)dz=0,在这里沿C的积分是按反时针方向取的此定理是1825年Cauchy给出的.1851年Riemann在f(=)连续的假设下给出了简单证明如下证明：已知f(2)在单连通区域D内解析，所以f'(=)存在，设f(=)在区域D内连续，可知u、v的一阶偏导数在区域D内连续，又,VC c D,f f(=)dz = f,udx -vdy+if, vdx+ ud)由Green公式f udx -vdy= J[(-v,-u,)dxdy=0, f ydx+ udy = J[(u, -y,)dxdy= 0有 (z)dz=0

9  =  = −  +  z r + z r r r dz z z dz z z 2 4 2 3 2 3 1 2 | | 1 | 1  上式右端当 r →0 时极限为 0，故左端极限也为 0，所以 →  = = r z r + dz z z 0 1 lim 2 3 0 本节重点掌握： （1）复变函数积分的计算； （2）复变函数积分的基本性质 §3.2 柯西积分定理 （Cauchy integral theorem) 下面讨论复变函数积分与路径无关问题 定理(Theorem)3.3 设 f (z) 是在单连通区域 D 内的解析函 数，则 f (z) 在 D 内沿任意一条闭曲线 C 的积分 ( )d = 0 C f z z , 在这里沿 C 的积分是按反时针方向取的. 此定理是 1825 年 Cauchy 给出的.1851 年 Riemann 在 f (z) 连续 的假设下给出了简单证明如下 证明：已知 f (z) 在单连通区域 D 内解析，所以 f (z) 存在，设 f (z) 在区域 D 内连续，可知 u 、v 的一阶偏导数在区域 D 内连续， 有 ( )d = 0 C f z z      = − + + c C C 又, C D，f (z)dz udx vdy i vdx udy     − = − − = + = − = D x y c D x y c udx vdy v u dxdy vdx udy u v dxdy Green ( ) 0, ( ) 0 由 公式