特征值与特征向量 张莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn 可济大争数学系 June5,2015 4907 聘同济大单 Jue320151/35
. . 特征值与特征向量 张 莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn 同济大学 数学系 June 5, 2015 ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 1 / 35
§1.1.向量的内积与长度 X1 1.定义1.P.111)设x= 和y= 是两个n维列向量，则定义它们的内 积为： [x,y=xy1+…+xyn 2.说明 ().内积是向量的一种运算，如果x,y都是列向量，内积可用矩阵记号表示：x,习=xy 3.例：用内积的话言重速矩车通法的定义 ,内积的若干话程性所P1) ..y=对称生 ,入=入 面以十因=三十因 w,正定件当x=0时，，=当1≠0叫，>0 聘同济大举 Jue320152/36
§1.1. 向量的内积与长度 1. 定义 1.(P.111) 设 x = x1 . . . xn 和 y = y1 . . . yn 是两个 n 维列向量, 则定义它们的内 积为： [x, y] = x1y1 + · · · + xnyn 2. 说明 (1). 内积是向量的一种运算, 如果 x, y 都是列向量，内积可用矩阵记号表示：[x, y] = x T y 3. 例: 用内积的语言重述矩阵乘法的定义. 4. 内积的若干运算性质 (P.111) (i). [x, y] = [y, x] (对称性) (ii). [λx, y] = λ[x, y] (iii). [x + y,z] = [x,z] + [y,z]; (iv). 正定性: 当 x = 0 时, [x, x] = 0; 当 x ̸= 0 时, [x, x] > 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 2 / 35
§1.1.向量的内积与长度 X1 1 1.定义1.P.111)设x= 和y= 是两个n维列向量，则定义它们的内 y。 积为： [x,y=xy1十…+xyn 2.说明 ().内积是向量的一种运算，如果x,y都是列向量，内积可用矩阵记号表示：x,习=xy 3.例：用内积的语言重述矩阵乘法的定义 ,内积的若干西是件成P ..=对称性 ,入=入 面以十因=三十因 w,正定件当x=0时，，=当1≠0叫，>0 聘同济大举 Je320152/36
§1.1. 向量的内积与长度 1. 定义 1.(P.111) 设 x = x1 . . . xn 和 y = y1 . . . yn 是两个 n 维列向量, 则定义它们的内 积为： [x, y] = x1y1 + · · · + xnyn 2. 说明 (1). 内积是向量的一种运算, 如果 x, y 都是列向量，内积可用矩阵记号表示：[x, y] = x T y 3. 例: 用内积的语言重述矩阵乘法的定义. 4. 内积的若干运算性质 (P.111) (i). [x, y] = [y, x] (对称性) (ii). [λx, y] = λ[x, y] (iii). [x + y,z] = [x,z] + [y,z]; (iv). 正定性: 当 x = 0 时, [x, x] = 0; 当 x ̸= 0 时, [x, x] > 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 2 / 35
§1.1.向量的内积与长度 X1 1.定义1.P.111)设x= 和y= 是两个n维列向量，则定义它们的内 y 积为： [x,y=xy1十…+xyn 2.说明 ().内积是向量的一种运算，如果x,y都是列向量，内积可用矩阵记号表示：x,习=xy 3.例：用内积的语言重述矩阵乘法的定义 4.内积的若干千运算性质(P.111) .x,习=，（对称性） m.[x,习=， (m).r+,司=，司+y,小 w.正定性：当x=0时，x,=0:当x≠0时，[x,>0 聘同济大举 Jue520152/35
§1.1. 向量的内积与长度 1. 定义 1.(P.111) 设 x = x1 . . . xn 和 y = y1 . . . yn 是两个 n 维列向量, 则定义它们的内 积为： [x, y] = x1y1 + · · · + xnyn 2. 说明 (1). 内积是向量的一种运算, 如果 x, y 都是列向量，内积可用矩阵记号表示：[x, y] = x T y 3. 例: 用内积的语言重述矩阵乘法的定义. 4. 内积的若干运算性质 (P.111) (i). [x, y] = [y, x] (对称性) (ii). [λx, y] = λ[x, y] (iii). [x + y,z] = [x,z] + [y,z]; (iv). 正定性: 当 x = 0 时, [x, x] = 0; 当 x ̸= 0 时, [x, x] > 0. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 2 / 35
5.定义2(P.112): 令l=V低，可=√好+…+x 称xl为n维向量x的长度（或范数）： .向量的度其有还性班 1非候件.之0且用=0仅当x零向量明 2行次住订=A 3三布x+≤+1 .当=1称x为单0国 端同济大举 Ju20153/35
5. 定义 2 (P.112) ： 令 ∥x∥ = √ [x, x] = √ x 2 1 + · · · + x 2 n 称 ∥x∥ 为 n 维向量 x 的长度 (或范数); 6. 向量的长度具有下述性质： (1). 非负性: ∥x∥ ≥ 0, 且 ∥x∥ = 0 仅当 x 为零向量时. (2). 齐次性:∥λx∥ = |λ|∥x∥; (3). 三角不等式: ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ 7. 当 ∥x∥ = 1, 称 x 为单位向量. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 3 / 35