例3.用配方法化二次型 f=2x+5x2+5x3+4xx2-4x3-8x2x3 为标准形，并求出所用的非退化线性替换 f=2(x1+x2-)+3+3x-4赵& 2 5 =2(,+x,-x)}'+3 + 》1=X1+2-X3 2 y2= 3 X= y3三 X3 」=+3±
222 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x = + + + − − 2 5 5 4 4 8 ( ) 2 1 2 3 f x x x = + − 2 例3. 用配方法化二次型 为标准形,并求出所用的非退化线性替换. 2 3 5 3 + x 1 1 2 3 2 2 3 3 3 2 3 y x x x y x x y x = + − = − = 2 2 2 1 2 3 5 2 3 3 f y y y = + + 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 0 1 0 1 3 3 0 0 1 0 0 1 X Y Y − − − = − = 2 2 + + − 3 3 4 x x x x 2 3 2 3 ( ) 2 2 1 2 3 2 3 2 2 3 3 x x x x x = + − + −
例4.用配方法化二次型∫=2x飞2+2x飞3-6x2X3 为标准形，并求出所用的非退化线性替换. 解：二次型中不含平方项，无法配方，由于含交叉项 XX2,故先作非退化线性替换： x1=y十y2 得： f=2-2y2-4yy3+8y2y X2=y1-y2 再配方，得 X3=y3 f=2(0y-y)}20y2-2y)'+6房 =y1一 》1=31+3 即 二次型化为 32=》2-2y y2=2+2z3 标准形： 3=y y3=3 f =2z-2z+6z
例4. 用配方法化二次型 为标准形,并求出所用的非退化线性替换. 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x = + − 2 2 6 解: 二次型中不含平方项, 无法配方. 由于含交叉项 1 2 x x 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y = = − = , 故先作非退化线性替换： ＋ 得： 2 2 1 2 1 3 2 3 f y y y y y y = − − + 2 2 4 8 再配方，得 2 2 2 1 3 2 3 3 f y y y y y = − − − + 2( ) 2( 2 ) 6 1 1 3 2 2 3 3 3 2 z y y z y y z y = − = − = 令 1 1 3 2 2 3 3 3 2 y z z y z z y z = + = + = 即 二次型化为 标准形： 222 1 2 3 f z z z = − + 226