例5.设A=-111,且满足AX=A1+2X,求X 01 解:设A 则A=2110,|A=4 011 由AX=A+2X→(A-2E)X=A 00 010 而A'-2E=2100,(A-2B)-2100 001 010 01 110 0,X=(4-2E)A 01 10
* 1 111 5 1 1 1 2 . 111 − − = − = + − 例 .设A A X A X X ,且满足 ，求 * * 1 * 1 * * 1 1 * 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 0 4 1 1 1 0 1 1 2 ( 2 ) 0 0 1 0 1 0 1 2 2 1 0 0 2 ) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 ) 0 1 1 . 2 4 0 1 1 1 0 1 − − − − − − − = − = = − = + − = − = − = = = − = A A A A X A X A E X A A E A E A X A E A 设 ,则 ，| | 由 而 ，( ， ( 解：
例6.设A b ()试将()=1E=4写成 λ的多项式,并验证f(4)=O 解:f()=ZE-A b 元-d a-(a+d)n+ad-bo 由此得f(A)=A2-(a+d)A+(ad-bc)E a+bc ab+ bd ac +cd bc+d2 a+ (ad-bc 01_(00 00 O
( ) , ( ) ( ) O. a b f c d f = = − = A E A A 设 试将 写成 的多项式，并验证 例6. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 ( ) O 0 1 0 0 a b f c d a d ad bc f a d ad bc a bc ab bd a b a d ac cd bc d c d ad bc − − = − = − − = − + + − = − + + − + + = − + + + + − = = E A 由此得 A A A E 解：
例7.解矩阵方程AX=B,XA=B,AXB=C,其中A、 B均为可逆矩阵 解:解矩阵方程时,应注意已知矩阵与X的位置关 系例如解AX=B,要先考察A是否可逆(这个过程 可以不写出),只有A可逆时才可解这个矩阵方程, 这时将方程两边同时左乘A,得 AAX=AB,即X=AB 而不能右乘A,因为矩阵的乘法不满足交换律。 AX=B→X=4-B XA=B→X=BA AXB=C→X=ACB
, , . AX B XA B AXB C A = = = B 解矩阵方程 ，其中 、 均为可逆矩阵 例7. 1 1 1 1 1 1 1 . ( ) − − − − − − − = = = = = = = X AX B A A A A AX A B X A B A AX B X A B XA B X BA 解矩阵方程时，应注意已知矩阵与 的位置关 系例如解 ，要先考察 是否可逆 这个过程 可以不写出 ，只有 可逆时才可解这个矩阵方程， 这时将方程两边同时左乘 ，得 ，即 而不能右乘 ，因为矩阵的乘法不满足交 。 解 换律 ： 1 1 − − AXB C X A CB = =