注由定理14.2可知，一个幂级数的收敛域等于它的 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点 在第十二章S2第二段曾经指出：若1im0-p, n-→o|an 则有iman=p.因此也可用比式判别法来得出 幂级数(2)的收敛半径.究竟用比式法还是根式法， 可以参考第十二章的相关说明 前页 后页 返回
前页 后页 返回 注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点. 在第十二章§2第二段曾经指出: 若 1 | | lim , | | n n n a a 则有 lim | | . n n n a 因此也可用比式判别法来得出 幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明
创1级数∑，由于 1= n (n+1)2 →1(n-→o) 所以其收敛半径R=1,即收敛区间为（一1，）；而当 x=+1时，有 P用于级∑收统所 以级数∑ 在=H时也收纹丁是级数∑号 的收敛域为[-1,1小. 前顶 返回
前页 后页 返回 2 , n x n 级数 由于 2 1 2 1( ), ( 1) n n a n n a n 例1 所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) ; 而当 2 2 2 ( 1) 1 1 1 , , , n x n n n 时 有 由于级数 收敛 所 2 1 n x x n 在 时也收敛. 2 n x n 以级数 于是级数 的收敛域为 [ 1, 1].
例2设有级数 + (4) 由于 n+1=1, R=lima,=lim” 因此幂级数（④）的收敛区间是(-1,1).但级数(4)当 x=1时发散，x=-1时收敛，从而得到级数(4)的收 敛域是半开区间[-1,1).照此方法，容易验证级数 ∑若与∑x 的收敛半径分别为R=+o与R=0. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 因此幂级数(4)的收敛区间是 ( 1, 1) . 但级数 (4) 当 x 1 时发散, x 1 时收敛, 从而得到级数(4)的收 敛域是半开区间 [ 1, 1) . 照此方法, 容易验证级数 ! ! n x n n x n 与 的收敛半径分别为R 与 R 0 . 例2 设有级数 2 , (4) 2 n x x x n 1 1 lim lim 1, n n n n a n R a n 由于
*定理14.3（柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理） 对于幂级数(2)，设 -limyla,b. (5) 则有 当000时，收敛半径R=合 (i)当p=0时，R=+oo; (ii)当p=+o时，R=0. 注由于上极限（⑤）总是存在，因而任一幂级数总能 由（⑤）式得到它的收敛半径 前 返回
前页 后页 返回 *定理14. 3(柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理) 对于幂级数(2), 设 lim | |, (5) n n n a 则有 1 (i) 0 , ; R 当 时 收敛半径 (ii) 0 , ; 当 时 R (iii) , 0. 当 时 R 注 由于上极限(5)总是存在, 因而任一幂级数总能 由(5)式得到它的收敛半径
2、幂级数(2)的一致收敛性问题 定理14.4若幂级数(2)的收敛半径为R>0,则在它 x=R(或x=-R)时收敛，则级数(2)在[0，]（或 [-R,0)上一致收敛. 定理14.5若幂级数(2)的收敛半径为R>0,且在 的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]c(-R,R) 上，级数(2)都一致收敛、 前页 后页 返回
前页 后页 返回 2、幂级数(2)的一致收敛性问题. 定理14. 4 若幂级数(2)的收敛半径为 R 0 , 则在它 的收敛区间 ( , ) R R 内任一闭区间 [ , ] ( , ) a b R R 上, 级数(2)都一致收敛. 定理14. 5 若幂级数 (2) 的收敛半径为 R 0 , 且在 x R (或 x R )时收敛, 则级数(2)在 [0, ] R (或 [ , 0] R )上一致收敛