30 第二讲 y 图6 图7 存在的并且就等于这个唯一的值.这个规定有时被当作不可 理解的,因为我们一开始说的是变量的极限,那么怎么可以 有常量的极限存在呢? 但是这个规定对我们而言,首先在逻辑上是必然的,如 果我们不想在我们的极限定义中出现矛盾的话.实际上,对 任何x值若y=b,则对点b的无论怎样的邻域V,对任何r 我们都有关系式y∈V,由此依照极限的定义我们一定可以 得出:对任何a,都有 limy=b (2) 再其次,这个约定又是十分合理的(实际上,也几乎是 不可避免的)和实用的,事实上,如果我们暂时认为常量没 有极限,而设有一个函数使(2)对它成立,则大家知道 lim(- y)=-6 ·4 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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极限 但对任何x,y+(-y)=0,于是量y与—y都是有极 限的,而它们的和是常量0,而按照我们的约定,又是没有极 限的.这样一来,在表述我们熟知的两个变量和的极限的定 理时,我们不得不预先声明;“只要这个和不是常量时”,和 的极限的定理才成立.类似这样附加的话,其人为的繁琐的 特征是显而易见的,而我们又不得不把它们放入所有关于极 限的定理之中,但若对任何常量都给以极限,我们就可以完 全解脱了.而由于,像我们已经看到的那样,我们又没有作 出与我们已建立的极限概念的定义有矛盾的任何差错,所以 在讲述数学分析基础时始终采用了这个约定 无穷小和无穷大,如果当x→a时y→0,量y=f(x) 就称为当x→a时的无穷小量.在数学分析的许多讲法中无 穷小概念在极限论都起着基本的作用,先给出它的定义,然 后再给出一般的极限概念,并且反过来,把后者的定义归结 为无穷小量的概念,与此相反,一些现代学者在阐述分析教 程时则完全不理会无穷小的概念,认定这个概念是多余的,它 会留下,并且事实上确实是留下了许多误解 关于这一点应当指出,这里所谈的当然不是趋近于零的 量的概念(这个概念在数学分析的任何讲法中,包含在其所 有的应用中都起着本质的作用),而仅只是谈要不要有“无穷 小量”这个术语这个名称实际上常是不通顺的并且常常导 致误解;使用这个名称似乎是想去刻画这一类的量的大小 把一些在其变化的已知阶段完全是并不小的量,叫做无 穷小量总是不方便的而在事实上这个名称所要描述的仅只 是已知量的变化特征,而绝不是它的大小.这个用词上的失 误应归咎于历史的遗留:无穷小量的叫法出现在这样的时代, 那时这个概念的意义完全不同于我们现在为它确定的意义 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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32 第二讲 但是,如同我们已经指明的那样,趋近于零的量在分析 中以及其应用中如此经常遇到,所以拒绝给它一个简单的名 词也是非常困难的.另一方面,把在历史上已经使用了几个 世纪的名称换成另外的说法确实是一场灾难,而这样的灾难 在数学中总是经常不断地感觉到又亳无好处.最后,如果我 们不把无穷小量作为极限理论的基础(如同我们现在所做的 那样),而仅仅是把它理解为趋于极限的量的一般概念的一种 特殊情形,则概念间严重混淆的危险性就不会太大并且不致 引起太严重的后果 量y称为无穷大量,如果 limy 这就是说,无穷大量就是要么趋于+∞,要么趋于一∞,要 么不趋近于某个极限,而是时而取正值,时而取负值,但按 其绝对值则无限增邡.这后一种情形的例子如变量y= (-1)n当n→+∞时即是,其中n在增加时仅取整数值.关 于术语“无穷大量”也可以重复我们上面对“无穷小量”所 说的那一些话 这里我们毋需对我们已熟知的无穷小量的和差积的定 理再说什么,我们只需要对常导致误解的两个地方加以注意: 1)在无穷小量的和及积的定理中经常要求加项(或因 子)的个数是有限的,没有这个说明,我们容易找出简单的 例子来证明,这两个定理是不能成立的 2)关于两个无穷小量的商不可能作出任何一般的结论, 这里商可以具有任何变化特征,特别地、可能不趋于任何极 限 在往下讲以前,我们需要对记号+∞和一c再作些说明. 这些记号我们现在已经是经常遇到的了.当然,你们知道,这 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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极限 些记号并不表示任何数.例如:在问到记号+∞表示什么时, 最正确最清楚的就是说它本身什么意义也没有;但“+∞的 邻域”这种说法是有意义的,它表示的是全部大于某个(任 意的)数a的全体实数这样一个集合;对于这样的集合给一个 简单的名称是很方便的,因为在分析中我们每每要碰到这类 集合,所以就称它为+∞的邻域。与“+∞的邻域”这种说 法一样,诸如limy=+(其中a本身可以是符号+∞与 ∞之一)这种表达式也就有了意义.实际上,在我们已给 出的极限定义imy=b中谈到字母a及b时总是与它们的邻 域一起谈到的.因此这两个字母中的任何一个都可以符号 +∞(或者一∞)来代替(只要我们指明,把什么样的集合 称之为这些符号的邻域就行),没有必要对这些符号本身给予 任何意义 从所有这些可以明白,在使用符号+∞及-∞时该要多 么细心,特别地,对它们作某些算术运算(=0等等)是 完全不能允许的,而在某些“简略”的分析教程中是这样用 的问样地,所有其式中有符号+∞及-∞出现的等式,如 果这些符号虽不是直接起着上述类型的极限的作用,也都是 没有意义的.如三角表示中形如tan2=±∞①之类的任何 等式都是如此反之,不等式 a<+∞,b>-∞,一∞<c<+∞ 却可以有确定的意义.它们依次表示:1)a要么是一个数,要 ①当然,正确的表述应当是 lim tan x=+∞, tim tan x=-∞ DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第二讲 么是符号→∞;2)b要么是一个数,要么是符号+∞3)c是 一个数 最后,在谈到函数y=∫(x)的极跟存在时,必须准确地 声明,我们这里所说的是存在一个数,它是这个量的极限,或 者我们也将允许符号+c,一∞作为极限.当然,在这里的术 语问题上我们显然可以取两种说法中的任何一个,于是乎怎 样选择就应当看它是否适合通常约定把“y有极限”理解为 存在着一个数作为量y的极限,如果需要对这个论断作广义 的理解,劓应作专门的声明.在今后我们都将这样处理 Cauchy准则,极限理论的最重要的问题之-是;已知 函数y=f(x),要问:当x→a时它是否有极狠?在此:1) 按照我们的约定要讨论的是这样的数b的存在问题,使当 x→a时y→b;2)反之,a可以是数,也可以是符号+∞与 -∞两者之一:3)在此问题中只谈及极跟的存在性问题,至 于怎样去找出这里的极限,我们目前完全不必去管它. 下述的极限存在的重要准则是十分重要的工具,特别在 理论研究中是这样. Cauchy准则要使函数y=f(x)当x→a时有极限,必 须而且只需下述条件得到满足:(A)无论对于怎样小的正数 ε,都存在着数(或符号)a的一个这样的邻域U,使得对邻 域U中的任何两个数x1和x2,都有 f(x1)-f(x2)< 证))沿当斯县,热沂工籹砒照帖
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