极艮 35 与b+6之间,因而彼此之差小于e.这就证明了条件(A)的 必要性, 2)现在设条件(A)成立.对每一个自然数n都存在着数 的这样一个邻域Un,使得当x1∈Un,x2∈U时我们总有 f(x1)一f(x2)」< (3) 我们可以把每一个这样的邻域Un都取为区间闭的),同时 我们有权假设 C CU(n=1,2,…),实际上,若区间U,1 不是区间Un的部分,则我们通常取区间Un与Un+的公共部 分U+来代替U+:①,很明显,Ux1是区间,且UnCU, 并且对任何x1∈Un1,x2∈U我们都有 f(x1)-f(x2)< 所以邻域U+1在任何情况下都是可以用来代替邻域Un1的 因为函数f(x)在区间U上是满足条件(3)的,则函数 在此区间上所取的值的整个集合M,将落在长度为的某个 区间4之内,但Un1CUn,因而Mn+1CM,因而区间△+1 将整个地落在区间4之内:△+1C△;又因为当n→00时区 间的长度将趋近于零,则区间序列△(1,2,…)将构成 收缩的区间套.根据第一讲的引理2(p.21)我们就可以断 定,存在着唯一的一个数b属于所有的区间△ 最后,我们来证明limy=b,为此我们以V来表示数b 的任意邻城。依照这个数的定义,对任何充分大的n有△nC ①显然,它是非空的 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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36 第二讲 V.所以若x∈Un,则f(x)∈M2C4CV,由此,依照极 限的定义应有lmny=b. 这样一来 Cauchy准刘就已完全证明特别地,要使数序 列 a1sa2,*,an, 有极限,必须而且只需:对任意的e>0以及任何充分大的n 和m,都有 lan -ami< Cauchy准则只在证明某些个别的函数的极限存在性时,在很 少有的情形下,才得到具体的应用,为此常常釆用更为简单 的准则,但这种准则不是极狠存在的特征,即不是必要充分 的准则、相反地,在一般的理论研究中, Cauchy准则正是由 于这个特点,却能起到几乎是不可取代的作用,这一点我们 即将看到 于基本定理的注记,极限理论的基本定理即和、差、 积等极限定理,你们当然是很熟悉的,我们这里不仅不需再 去证明,而且也不必去陈述它们.但与这些定理相关的一个 注记我们还必须绘出、因为这个注记对于整个一系列定理都 是相同的,我们将只以其中的任一个为例来加以说明 当我们说到“两个量之和的极限等于它们的极限之和” (在大量“简略”的教程中正是使用这样简单的措词的),因 而我们这里指的是(尽管没有提到这一点):所有的3个量 (两个加项以及和)都是有极限的,并且问题仅只涉及这些极 限之间的关系.实际上,我们这里假设多于所需,只需假设 这两个加项每一项都存在极限就够了;因为这时可以证明和 必有极限(等于加项的极限之和).对这个证明不需任何附加 的讨论,这个结果可以从和的极限的定理的任何证明中自动 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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极飛 地得出,成为一个附加的结果 反之,从和有极限则不能直接推出每一个加项都有极限 实际上,设量y当x→a时不趋近于任何极限,很显然,量 1-y也同样地没有极限,但是这两个量之和(是一个常数, y+1-y=1)当x→a时有极限1. 这也就是说,关于和的极限的定理的最完整的陈述应当 说成是:如果已知的有限多个量中的每一个当x→a时都有 极限,则它们的和此时也有极限,并且和的极限等于各项的 鲁●看d 极限之和,所有这一系列的定理都有类似的陈述 部分极隈,上椒限和下极限,我们现在需要来详细斫 究变量x的这样的函数,这些函数当x→a时没有极限.所 有“简略”的教程通常是完全不研究这个问题的 如果对于数a的无论怎样的邻域U以及数b的无论怎 样的邻域V,都可以找到一个异于a的点x∈U,使得f(x) ∈V,当x→a时我们称数b是函数y=f(x)的部分极限 这个简单的定义不加任何改变可以推广到b是符号+∞, -∞之一的情形.这就是说,部分极限b是这样的数,使得 不论怎样靠近a,总可以找到x值,使相应的量y任意地接近 于b[当a或b是+∞时,我们当然应当把“任意接近于a (或b)”改变成“任意大的数”,当a或b是一∞时也完全类 似 相仿地,我们也可以定义当n→∞时数列a1,a2,…,an 的部分极限 如果limy存在,则正如我们从极限概念的定义中所直 接看到的那样,它必然也是量y的一个部分极限(且是唯 的),而不管这个极限是一个数或是符号+∞与一∞两者之 但如果这个极限不存在,则这个量y至少有两个不同的 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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38 第二讲 部分极限.这也就是说,任何函数y=f(x)当x→a时都至 少有一个部分极限,要使部分极限是唯一的,必须而且只需 lmy存在 要证明这些论断的正确性,显然,我们必须证明两个命 题: 命题1.饪何函数y=∫(x)当x→a时都至少有一个 部分极限 命题2.如果b是函数y=f(x)当x→a时的唯一部 分极限,则limy=b 所有这些情形里所有的极限和部分极限都可以是数,也 可以是符号+∞及-∞ 命题1的证明.若符号+∞与一∞之一是量y的当 x→a时的部分极限,则命题已经得证,因此我们假设这里不 是这样,并且指明这时存在着一个数b,它是量y当x→a时 的部分极限 但若无论+∞或者-∞都不是函数f(x)当x→a时的 部分极限的话,则很显然,存在着这样的一对数a,P(a< P),使得对任何充分靠近a的x,都有 a≤f(x)≤ 特别地,这就表明:在数a的任何邻域内都可以找到这 样的数x,使得f(x)属于区间,B,这样的区间为简便计我 们表之以A,我们约定只用A这个字母来表示区间A所具 有的以上所陈述的性质,如果我们将此区间等分,则其两个 半区间中至少有一个具有性质A(因为若数a的邻域U1不含 任何使得f(x)属于左半区间A1的x,而邻域U2则不含任何 使∫(x)属于其右区间的x的话则作为这两个部分U1与U2 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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极隈 39 的公共部分所组成的邻域U①很显然将不包含任何使f(x) ∈A1的点x,即区间△1不具有性质A),我们再用2来表示 区间A1的具有性质A的一半,并且重复进行我们对区间△ 所进行的工作,即把它平分且把具有性质A的一半表之以 △3.无限继续这个过程,很显然,我们就得到一个收缩的区间 套A1,3,△3,…,A,…设b就是根据收缩区间套引理而一定 存在的属于所有这些区间的唯一的公共的数,并以U和V来 表示数a及b的相应的邻域依照数b的定义,可以找到一个 区间△nCV,但每一个区间A都具有性质A,因而存在着这 样的一个数x∈U,使得f(x)∈△CV.但此即表明,b是 量y当x→a时的部分极限. 命題2的证明、由命题1,量y当x→a时至少有一个 部分极限b,若关系式lmy=b不成立,则存在着数(或符 号)b的一个邻域V具有以下性质:对数(或符号)a的任何 邻域U,都可以找到这样的x,使得相应的f(x)不属于V.因 此,很显然,应当有下述两种情形之一成立:要么符号+∞ ∞中有一个,而且不是b,是量y的当x→a时的极限,要 么存在着V外的一个区间{a,],使得数(或符号a的任何 邻域U都包含有这样的x,∫(x)∈[a,在前一种情形,命 题2得证.在第二种情形,如同我们在命题1的证明过程中 所做的那样,我们同样可以证明:量y当x→a时有部分极 限b属于区间[a,,因而不等于b,这就是说,此时命题2也 得证 于是,我们就证明了,在已知过程中任何没有极限的量 ①译者注U=U1∩U2 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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