极限 25 现,而没有这些(或类同的)术语要描述通常的、你们所熟 知的极限概念的定义是很困难的.我们不是常这样说:无论 数a的邻域U0是怎样的,从已知过程的某个时刻起的所有 的x值都属于邻域U2.于是我们现在应当找到一种方法来 描述这个定义,以使它不含任何数学意义不是完全确定的术 语.应当明说,这个任务大概解决得不算很好.现代数学家 宁肯完全放弃去解决它并且把记号mx=a当作是毫无数 学内容的.当然,这不是说他们完全拒绝极限概念.如何摆 脱这一困境呢? 事实上,在分析中我们总是遇到这种情形:当变量x在 某个确定的状态时某个函数y趋近于极限,例如“当x趋近 于a时y以b为极限”或者“当n无限增加时an趋近于a”等 等.这种说法(相应地有记号y→b或者imy=b或者 x·d an→α)已经有了完全确定的含义,于是,表达式limy=b 意味着:无论数b的邻域V是怎样的,总存在着数a的这样 个邻城U,使得对除x=a以外的任何x∈U,总有y∈ V.你们已经看到,这个无可指摘的极跟概念的精确定义不需 要过程的概念.通常把它说成是:当x充分接近a④时y足 够地接近b.当然,谁若对数学形式的典型特征不熟悉,可能 0数a的邻城是包含数a在其中的任何开区间 ②当然,有时这句话也说成这样:无论正数ε如何小,在已知过 程中数值x-a依其绝对值总小于ε ③函数y当x=a时可以是没有定义的,也可能当x=a时y有 确定的值,但这个值不是b ④对于x→∞,x→-∞,y→0,y→-∞不需专门的定义,只 要把大于(小于)某个任意确定的数的集合理解为+∞(∞)即可 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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25 第二讲 对此感到奇怪:可不是吗,事实上,语句(A):“当x的极限 等于a时,y的极限等于b”可能有确定的意义,同时条件自 身“x的极限等于a”却没有意义?实际上,这里不仅不会有 任何不能接受的东西甚至也没有任何奇怪语句(A)是作为 一个完整的整体,而完全不必让其中每一个部分都对我们有 定义,只要这句话整个地赋予了确定的内容就行了 毫无疑问,我们所给的极限概念的定义包含了分析上最 重要的两种情况:数列的极限 lim a及连续变量的函数的极 7→ 限limy,其中a是实数,亦或者+∞,或者∞,这里函数 y的极限可同样理解为这三种情形中的任一种 趟于极隈的各种类型,设r的函数y=f(x)当x趋近 a(a是一个数)时以数b为极限同时为简单计我们设x的 所有值均大于a.这一点常用以下的记法,非常方便地表示为 r→a+0(而不写x→a,x>a),于是,我们有 lim f(r)=b (1) 我们假定对充分接近于a的任何x>a,有f(x)>b;此 时函数f(x)在点a附近通常的几何表示有两种形状,即为下 述图1和图2在图1中x愈靠近a则f(x)就愈靠近b,当 x→a+0时y单调减少地趋近于b.在图2的情形则完全不 是这样:y→b时是时而接近,时而又离开其极限,当x→ a+0时函数f(x)不是单调地变化的,它时而增加,时而减 小.当然,所有这些本质上的差别并不妨碍我们用同一个关 系式(1)来类似地表示这两个图形这个关系所描述的是这两 个情况所共有的一个基本事实:只要x充分接近a,y就任意 地接近b 当x充分趋近于a且均有x>a时,若有y<b,则完全 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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极限 27 y y b b 图1 图2 类似于前者:它可以用图3和图4来表示,显然,无篙解释 b 图3 图4 最后,可能有这样的情形,当x在点a的右方任意接近 a时,函数y=f(x)的值有时大于b,而有时又小于b(图 5)很明显,此时当x→a+0时y不可能是单调地趋近于其 极限b,此时若函数∫(x)连续(如同我们在所有图形中所描 绘的),则它必然在点a的右方充分靠近a的无穷点集上等于 其极限值b,从几何上说,函数f(x)的图形在点a附近无限 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第二讲 图5 多次地穿过直线y=b 很显然,当x→a+0时趋近于b的连续变化的量的所有 可能的类型仅限于这些情况.我们不再去单独研究当x→ a-0即所有的x均小于a的情形,很明显,把图1~5对直 线x=a反转即可得到相应的图形. 如果我们假设当x→a时y→b,则当然有y→b以及 y→b,此时我们谈到的函数y当x从点a的右边的5种极 限类型的每一种都可以类似地与从点a的左边趋近于a的5 种类似的极限类型结合起来,从而我们就得到了当x→a时 函数y→b的25种不同类型的极限 我们还要注意到,图1,23,4中所描述的情形可以方便 地写成相应的形式 b+0及y x→a+0 到目前为止,我们认定a及b是数当这两个字母之 (或者两个一起)表示+∞或一时,也不难列举出函数y的 各种类型的极限.你们自已将不难作出,作为例子,我们指 出当a=+∞,而b是数时,所有的类型可以表示成图1~ DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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极限 29 b b b 图1 图2 图3 图4 函数∫(x)在图1′及图3′的情形是单调的,而在其他情形 则是不单调的.在图5的情形(如果它连续的话)函数f(x) 可以无穷多次地等于其极限值6(对充分大的x值 当a是数,而bx+c, 而当x→a+0时,很显然, 只可能是图6及图7所描述 的两种类型 b 常量的极限,当然你 们知道,常量(即仅可能取 唯一的值的量)的极限总是 图5 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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