第一讲 3)的有界性是不能得出极限的存在,正如例子a=(-1) 所指明的那样 关于单调序列的引理不仅在分析中得到大量的应用,而 且甚至在初等数学中也得到了大量的应用它在初等数学中 常被作为“公理”,有时甚至不考虑,如果不是掌握了全部的 实数,这个“公理”简直就是不成立的,但是,这种缺陷不 仅在初等数学里有,而且在“简化”的数学分析教程里也有 特别地,几何学中圆的周长(即当边数无限增加时圆内 接正多边形周长的极限)的存在以及作为分析基础的数e im(1+)的存在利用这个引理进行证明是最简单的了 与描述单调有界序列的基本特征的引理相比较,下面的 关于连续变化变量的连续函数的下述引理,对数学分析的意 义也不相上下 引理!,若量x增加且趋近于a,并且函数f(x)在某 个以点a为其右端点的区间上有界且单调,则f(x)当x→a 时趋近于确定的极限. 这里函数f(x)在以a-E和a为端点(E>0)的区间内 的有界性表明存在着这样的数c,使得 f(x)< <x<a) 单调性则表明对该区间的任意一对数x1,x,x1≠x2比值 x 或者≥0,或者≤0 引理1′的证明可以很简单地据引理1作出.为确定起见 设f(x)是不减的,即当a>x2>x1>a-c时有f(x2)≥ f(x1,因为当n>时有 8< <a, DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 则增加的数序列a-1(n>L)落在以a-∈和l为端点的 E 区间之内且以a为极限.数序列f(a-)(n>士)很显然 地有界且不减.因此由引理1存在极限imf(a-)=b 如果数x充分靠近a,则可以找到这样一个n=n(x),使得 ≤x< 此即表明由函数f的单调性得 f(a--)≤f(x)≤∫ 但当x→a时很显然地有n→∞,由此得出不等式(4)的左右 两边都以b为其极限,由此得出当x→a时也有f(x)→b,引 理1'以此得证 2收缩区间套引理.我们约定把以a和b为端点的闭 区间,即满足不等式a≤x≤b的所有实数的总体记为a, 6],而具同样的端点的开区间,即满足不等式a<x<b的所 有实数x的总体表之以(a,b).区间序列 我们将称之为收缩的区间套,如果它满足下述条件: 1°an≤an+≤≤h(n=1,2,…),即后面的每 个区间整个地包含在前一个区间之内; 2°lim(bn-an)=0,即随着序号的无限增加,区间的 长度趋于零 引理2.如果序列(5)是一个收缩的区问套,则存在着 唯一的实数a,属于所有这些区间 当然,可以通过构造相应的分割来证明此引理(时常是 很有益的),但是根据引理1来证明要简单得多.实际上,由 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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22 第一讲 条件1序列 单调、有界(后一点从an<b1对任何n成立可以明显看出 据引理1,序列有极限,设 n 川→ 因为对任何k有an≤h(n=1,2,…),则也有 a≤b(h=1,2,…), 因此 an≤a≤b(n=1,2,…) (6) 因此数α属于每一个区间[an,b,因而满足引理的条件,其 唯一性可以这样推得:当有两个不同的数a和β满足不等式 (6),我们有(为确定计设a<β) an≤a<β≤b(n=1,2,…), 由此得 bnan>β-a(n=1,2,…), 这与收缩区间套的性质2°相矛盾.因而引理2得证 应当指出:对于引理2非常重要的是对每一个区间而言 其端点an,bn都要包括在内,如果我们丢掉了这一点而以开 区间an<x<b来代替[an,,],则引理就可能不成立.如开 区间序列0<x<(n=1,2,…)就没有属于所有区间的公 共点 3 Heine-Borel引理.这个时代稍晚些才产生的辅助 命题也时常成为证明分析中的定理的很方便的武器 我们约定称(一般说来是无穷的)一组区间M覆盖了区 间(闭的)[a,b],如果这后一区间的每一个点都位于这组区 间M中的至少一个区间的话 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 23 引理3.如果开区间组M覆盖了区间a,b],则从中 可以分出一个有限的开区间M,也覆盖区间[a,b] 实际上,如果区间41=[a,5]不能被引理要求的限个 开区间覆盖,则将其平分成两半,我们可以断定,其中至少 有一个半区间也不能被有限覆盖(因为很显然地,如果两者 都能被有限覆盖的话,则整个区间△1也就被有限覆盖).我们 以A来表示这不能被有限覆盖的一半(如果两者都不能被有 限覆盖则42可以表示其中任意一个).再将△2平分成两半, 我们又可以断言,其中至少有一个半区间(我们表之以△)不 能被有限覆盖我们可以把这个过程无限地进行下去,这样 区间4,△2,A3,…很显然地构成了一组收缩区间套.根据引 理2存在着唯一的点a属于所有这些区间设△为组M包 含点a在其内的开区间因为当n→∞时区间△的长度趋近 于零,同时∈△,则对充分大的n就有△C△(因为开区间 4的长度不会为0),于是我们得出矛盾:区间An按其定义不 能被有限覆盖,现在又只需组M的一个区间△即可覆盖它 引理3以此矛盾而得证 现在我们不仅学会了建立数学分析的基础,而且证明了 3个最重要的辅助命题,准备好了将此基础最方便地用于今 后进一步构建基本的建筑物的过程.这座大度将以什么方法 耸立起来,在其建筑过程中将使用什么样的基本概念、思想 和研究方法一一所有这些你们都将从后面的各讲中了解到 ①译者注原文误为“一组区间M”,实际上,如果这·组区间M 是-组闭区闷这个引理可能不成立 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第二讲 第极 讲限 什么是极限?一趋于极限的各种类型一常量的极 很.一无穷小和无穷大— Cauchy准则,一关于基 本定理的注记.—部分极限,上极限和下极限,—多元 函数的极限 什么是极隈?极限概念,如同函数关系概念一样,是 数学分析最重要的概念之一.当然,你们了解许多关于极限 的定理,但是,我们还必须十分认真地研究这些概念,部分 地是为了使之更明确,部分地则是为了补充、深化和拓展我 们所熟悉的这个概念 我们首先来研究“变量x(在已知的现象或过程中)趋近 于数a(或者说是以数a为其极限)”这句话的意思.这句话 我们用下述两种记号之一来表述:x→a或者limx=a.如果 我们期望在定义极限时遵守一切形式上的要求(而没有这 点通常就不能建立数学科学),则我们首先要遇到的是特殊的 独有的困难、问题在于在极限概念的准确定义中,不能够有 其数学意义完全不明晰的术语诸如“现象”、“过程”之类出 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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