连续统 15 了处处稠密的集合.然而,严格地说,表达式r√2只有在对 实数定义了运算之后才能得到确切的意义.我们现在转到这 点上来 我们没有可能来研究这个问题的所有细节,而要想弄清 该定义的思想的各个方面,只要详细分析一个例子,对我们 来说就足够了.设a1和a2是两个实数且设我们想要定义它们 的和a1+a2,数a1和a2无论是有理数或者是无理数,在任何 情况下它们两个都是集合R的某个分割的界限.我们分别以 (A1,B1)和(A2,B2)来表示这些分割其次,设a:,b1,a2,b2表 示属于相应的集合A1,B1,A12B2的任意的数、很显然地,所 有形如a1+a2的有理数都小于任何形如b+b2的有理数.我 们现在来证明这样的实数a的存在性与唯一性,使得对任意 的a,a2h,2(当然属于相应的集合)都有 a1+a2≤a≤b1+b2 我们就自然地将这个数a定义为数a1和a2的和,这样就在一 切情况下确定了和的存在性和唯一性 我们来研究以下述方式定义的集合R的分割(A,B) 如果有理数r小于所有形如h1十b2的数,我们将把它归人A 类,相反的则归入B类(你们很容易证明,集合R的这样定 义的分割实际上是分割).该分割的界限我们表之以a.很显 然地,所有的形如a1+a2的数属于A类,而所有形如b2+ b2的数属于B类.因此 a1+a2≤a≤b1+b2, (2) 即数a实际上满足所提的条件我们余下的是确定其唯一性 为此目的我们先来证明,数a3和b1我们可以这样选择, 使得其差h一a:为任意小实际上,设a是A1类中的任意 的有理数且c为任意小的正有理数.在有理数序列 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第一讲 a,a+c;a+2c,…,a+nc,… 中第一项属于A1类,其后,一般说来还有一些项也属于A1 类,但从某个位置起所有后面的项都将属于B1类,因为a+ nc随着n的增加在无限增加.因此可以找到这样一个整数k, 使得 a十kc=a1∈A1,a+(k+1)=b∈B1 由此得知差b1-a1=c是任意地小、因此我们的命题得证 由于同样的理由,数a2,b2之差,还有a1+a2,b1+b2之差也 可以选择为任意地小 现在设(还不知道这是否可能)存在着两个实数a和满 足任何不等式(2),且为确定起见设有a<d.正如我们了解 的那样,存在着这样一对有理数r,',使得 a<r<r<a 这些关系连同不等式(2)一起表明:任何形如a1+a2的数与 任意的形如b+b2的数之间的距离必定超过一个常数r-r 这很显然地与我们刚刚得出的结果相矛盾.因而数a的唯一 性得证 我们所做的加法的定义,按其形式讲可以方便地把有理 数加法所遵从的所有基本规律直接推广到任何实数的加法 你们可尝试哪怕只对交换律试一下,马上就会发现这些都是 怎样的简单 我们已经说过,我们在这里将不再说及其他运算的定义 以及它们所遵循的规律.我们只提醒一下:乘法最好类似于 加法来定义,而减法和除法则定义为逆运算为最好 我们现在转到这个问题的思路中最后一个极为重要的问 题:怎样证明我们定义的连续统实际上表现出连续性和致密 性呢?作为数学分析的基础,它们是必需的,正因为数集R缺 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 乏它们,才迫使我们在适当时候引进无理数 要回答这一问题,我们要回想一下,为什么我们说集合 R缺乏这种连续性.这是指这样一件事实:在集合R的分割 中具有这样一类,它们不具有属于集合R的界限.因此,如 果我们证明:对于连续统来说这样的事实任何时候再也不会 存在,即连续统的任何分割都有也属于连续统本身的界则 我们就能够认定这是令人满意的,并且能相信我们建立的连 续统作为数学分析的基础能适合对它所提出的要求 要避免一个误解,即我们上面提出的命题不可能从以前 的结果直接推得,因为迄今为止我们总是在说的是集合R的 分割,现在我们才第一次谈到连续统的分割.分割的形式定 义,我们在这里认为是不变的 现在来证明我们的论断.设(A,B)是连续统的任意一个 分割任何有理数,更一般地说,任何实数或者属于A类,或 者属于B类因而连续统的分割(A,B)就直接导出了集合R 的某个完全确定的分割(A,B").设a是作为分割(A,B)的 界限的一个实数.我们来证明,它也是分割(A,B)的界限, 从而使得我们的命题得证 我们需要证明:任何实数a1<a都属于A类,而任何实 数a2>a都属于B类.由对称性,只要证明第一个命题就够 了.设r为介于a1和a之间的有理数,因为r<a,则 r∈ACA0 而因a<r,则由此得出也有a1∈A.这就是所要证明的 暴本引理.数学分析的逻辑基础就这样建立起来了.当 以此为基础逐步建立分析基础时,我们当然不得不经常地引 记号ACB表示:集合A包含于集合B之内 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第一讲 证已经奠立的基础即直接回到我们所建立的实数的定义,这 必然会伴随众所周知的不便,因为对此所必需的分割,构造 和研究通常都是十分繁琐的.找到摆脱此困境的道路在科学 上是极其有教益的,因为它对于在数学科学中经常遇到的所 有类似的逻辑结构可以当作是一种典范.在数学分析的发展 历程中可以注意到,尽管在讨论中直接应用借助于分割给出 的实数定义是很经常的,但其屮的多数应用在形式上是彼此 十分相似的,因此实际上几乎所有的这些应用,都是按照三、 四种格式来完成的(当然,每次添加特别的内容).但如果发 现了这种情况,而我们就开始上十次地重复同一逻辑过程而 只是每次添加新的基本内容那不论是为了建立这门学科,还 是掌握这门学科都是很不经济的,也是极为麻烦的:数学科 学早就已经有了办法一当然是有充分的根据的—即在所 有类似情况下,通常把这种逻辑形式明显地表述为几个辅助 命题(引理),然后一劳永逸地证明了这些引理,这样以后就 再也不必每次都重复作为该引理基础的这个形式结构,而径 直引用这个准备好了的引理.证明了三、四个这样的辅助命 题,我们有可能在今后任何时候都不用再来构造分割,而只 要引用一个基本引理来代替它.这些引理就构成了把数学分 析与其逻辑基础连接起来的几座桥梁.毫无疑问,这些基本 引理的选择在不同的讲法中可以是各不相同的,但是在任何 情况下都要尽可能地劝告学生,要不惜时间和精力,尽可能 仔细地掌握尽可能多的这类引理,因为其中的每一个都各有 任务,能对将来的工作的给以本质上的方便,因此为掌握它 而花费的力气毫无疑问不会是徒然的浪费 这类引理的典型表述和证明我们现在以几个例子来给 出 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 1.关于单调序列的引理.实数序列 称为单调的,如果对于任何n都有或者an≤a+:,或者 an≥an+,在第一种情况,我们说准确一点是单调不减的,而 第二种情况则是单调不增的.序列(3)称为有界的,如果存在 着这样一个正数C,使得 2 引理1.任何单调有界序列都有极限 为确定起见设a≤an且|an|<c(n=1.2,…).把连 续统分成两个集合A和B,把大于所有的数an(例如数c)的 任何实数放入B,而把其余的所有实数放入A(特别地有所有 的ωn),很显然地,连续统的这个分划是一个分割.设a是该 分割的界限我们来证明iman=a,这也即是引理1所要证 明的 我们首先指出,对任意的n有 ≤a 实际上,当a>a时我们依照界限的定义将会有an∈B,这 与集合B的定义相矛盾如果与我们的命题相反,a不是序列 (3)的极限的话,则存在着这样的正的常数e,使得对数n的 无穷集合有 dr>>e 由此得a<a-E.但由序列(3)的单调性此不等式应对无穷 多个m值成立,因而应对所有的n成立.按照集合B的定义 由此得出a-ε∈B.但由a-e<a则数a-应当属于A 类(因为a是分割A,B)的界限).所得之矛盾证明了我们的 论断 当然,在引理的条件中单调性是不能丢掉的.单从序列 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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