第一讲 它有r2>2.因为n和n2都是正数,则从2<2<r2得出 <r2,即A类的每一个数都小于B类的每一个数.现在很 ●● 明显的是,如果我们把零和一切负(有理)数都归人A类,则 上述结论中不会改变.此时我们将得到将整个集合R分为A 和B两类的一个分割,同时A类的每一个数都小于B类的每 一个数.我们约定,若将集合R分成两个非空的类0(A, B),而使A类中的每一个数都小于B类中的任意数,就称它 是一个分割(确切地说是集合R的分划)我们因此也得到了 集会R的某个确定的分割 我们可以用种种不同的,都是完全初等的方法来建立集 合R的分割例如:把所有的有理数n1≤5归人A类,而把 所有的有理数r2>5归入B类,我们很显然地得出集合R的 一个确定的分割如果以通常的方式用直线上的点来表示数, 则所有的分割很显然地都可以用直线上的点分成两个集合的 某个(有理数的)分划表出:这两个集合中的第一个(A)整 个地位于第二个集合(B)的左边 初看起来可能会认为,集合R的所有分割对我们来说都 有同样的图像,两个不同的分割彼此间的区别只在于作出它 们的位置因而其中之一可以通过简单的移动而变为另一个 极为重要的是:这种看法是错误的.分割的本身结构上可能 有着深刻的(且对于我们的目的来说是有重大价值的)差别 实际上,在后一个例子中,存在着一个数(即有理数,我 们暂时还没有任何其他的数),该数具有这样一条重要的性 质,使得所有小于它的数都属于A类,而所有大于它的数都 属于B类,在我们的例子中很明显的这个数是数5.具有这个 ①即每一个类中至少包含有一个数 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 性质的数我们将称之为已知分割的界限.因而在后一例中所 做出的分割有界限 相反地,在第一个(与√2相关的)例中这样的界限是 没有的.我们来证明这一点 设(有理)数r是界限,则对任何(有理)数,我们应当有 或者r2<2,或者r2>2.为确定起见,设r2<2.按照界限 的性质对每一个r'>r我们应有r2>2.如果r<1,则设 r′=1,我们已经得到了矛盾.而如果r≥1,则r2≥r,记 2-r2=c(>0)且令r=r+,我们有 r2=2+x+≤2+r+5=2-72<2 又得到矛盾,因为r>r,从而应有r2>2 这样一来,集合R的所有分割分为两个类型:有界限的 和没有界限的在这里需要指出: a)一个分割不可能有两个界限,因为如果r和r是这样 的界限且若r<r,则由第1段存在着这样的数r,使得r< r"<r·但此时根据界限的性质从r">r得出r"∈B0,而从 y"<r得出r"∈A,这就造成矛盾. b)界限如果存在很显然地或者是A类中的最大的数, 或者是B类中的最小的数.如果界限不存在,则A类中既没 有最大数,B类中也没有最小数 c)每一个(有理)数都是两个不同分割的界限其中 个的A类由数r≤r构成(而B类则由数r>r0构成),而另 个中的A类则由数r<r构成(而B类则由数r≥构成) ①记号a∈M表示a是集合M的元素 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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12 第一讲 d)集合R的任何分割集都分成两种类型—有界限的 和没有界限的,很显然地,这是集合R的内部结构特点;这 样一件事实总是完全成立的,这里我们只用到R中的数是有 理数,而不必用到任何其他性质 3.现在已经有数√2的例子直接嗜示我们以后的行动 方式.情况很明白:从直观方面看,我们面前观察到的是数 直线、实轴,我们在其上确定的位置将其进行了分划,而在 分划的位置,我们找到了不与任何有理数对应的点我们不 能拒绝考虑该点的存在没有它则我们的直线,即连续统,即 变量在变化时遍历的数的集合,就失去了其连续性、致密性, 而连续统正是由此特征而得其名的.说得深刻一些,我们直 接看出,如果我们使变量在交化时只取有理值,则其从一个 值变为另一个值时就不得不经过张开着口的空洞.从实际方 面来讲,正如我们以前关于这点所讲过的那样,如果我们容 忍在我们的两个类之间什么样的界限都不存在,所有的应用 科学(且首先是几何学)必将感受极大的不便,因此,不仅 我们的直观表示要求,而且所有的实际方面的情形也要求我 们要把新的√2引进到我们的数域中来该数按照定义是我 们的分割的界限且我们称之为无理数 但是我们所选择的分割同那种没有(有理界限的集合R 的任何其他分割在原则上没有任何不同.在一般理论的构造 次序中我们因此自然地把我们的定义推广到任何这类分割的 情形.对于集合R的每一个没有有理界限的分割,我们都提 出某个新的无理数与之相应,并且定义这个无理数就是分割 的界限 因而,借助于这个统一的原则我们马上确定了整个无理 数的集合、连同早已存在的有理数一起,它们就构成了所有 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 13 实数的集合或者连续统,现在连续统已是完全确定的了 涟赎统理恐.但是,连续统理论当然不会因为我们引 进了构造无理数的原则就算是完成了.相反地,实质上它还 只能算是开始.在我们能够说连续统理论实际上已经完善之 前,我们还必须要做的工作的计划还是极为宽广的.首先,我 们应当对我们的连续统进行排序,即准确地确定在什么样的 条件下我们可以把一个已知的实数当作是大于或者小于另 个已知的实数.其次,我们还要对实数定义其运算.因为至 今为止我们对数1和2相加是什么还一无所知再次我们 还要仔细地证明这些运算具有我们在有理数域中所习惯的那 些全部的性质,例如:和与加法的次序无关(加法的交换 律)是我们应当重新对任意实数加以证明的定理.最后,我 们应当找到方法来证明:我们定义的连续统确已适应了所有 实际上的和直观表示的需要,它也正是为满足这些需要而建 立的.当然,在我们讲义的范围内要讲清此计划的各个细节 是完全不可能的.这也是极其枯燥的;我们在今后只涉及该 计划的某些原则上最重要的内容. 首先,很容易对我们的连续统进行排序.设我们有两个 实数a2和a2,需要确定其中哪个大,哪个小.如果两个数都 是有理数,则这个间题在算术中已经解决,于是我们在这里 就不再去讲它、如果说a1是无理数,而a2是有理数,则问题 也马上得到解决:a是集合R的某个分割的界限,根据界限 的定义本身我们说a2<或者a2>1取决于有理数a2属于 此分割的A类或B类.最后,设数a1和a2是两个无理数因 为这两个数互不相同,则以它们为界限的那两个分割也互不 相同.特别地,这两个分割的左边的类A1和A2也互不相同 这就表明在这些集合中的某一个,例如在A2中可以找到这 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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样一个有理数r是在A1中所没有的、从r∈A2得出y<a2, 从r∈A1得出r∈B1,医而有r>a,所以存在着这样的信 理数r,使得a<r<α,在这种情况下我们约定认为a1<a; 如果相反地得到了这样的υ,使得α<r<a1、则我们将认 为a:<a,因为我们现在已经证明了,两种情形之一一定应 当成立,因此我们对连续统的排序得以完成 然而,以上只是完成了定义,其性质还必须证明.应当 证明a1<a2与a1>a是不相容的;从a1<a2得出a2>a, 反之亦成立;最后,从a<a2及a2<a3推得a1<a,一—总 而言之,实数之间的不等式服从于有理数间的不等式的同样 基本规律.你们自己容易证明所有这些命题 顺便说一下,我们上面所作的讨论表明,在任何两个无 理数之间总可以找到一个有理数;我们知道,如果两个已知 数是有理数这仍然是成立的现在设数r是有理数,数a是 无理数,且为确定起见设r<a.我们来证明此时在和a之 间能够找到有理数.数a是集合R的分割(A,B)的界限,同 时从厂<a推得r∈A.但在有无理数界限的分割里A类不含 最大数,因此存在有理数r>r,它像r…样属于A类且因而 小于a.因而r<r<a,这也即是要证明的 这样,我们就证明了,在两个任意的实数之间都可以找 到一个有理数,当然,也就可以找到无穷多个有理数集合 R的这个重要的性质通常就说是:R是处处稠密的(在连续统 中).容易证明,无理数集合也是处处稠密的为了做到这一 点最简单的是:研究所有形如√2的数的集合其中r是任 意的有理数,所有这样的数都是无理数,只要它们就已构成 ①记号aM表示:a不是集合M的元素 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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