连续统 最筒单的办法是在今后同时满足所有这些新数的要求,前不 对每一个数个别地处理其细节 在√2以后,我们的领域中自然的且是不可避免的要包 含所有的有理数的平方根(正的和负的),然后是立方根以及 般的所有形如 (1) 的数,其中,是任意的正有理数,而n是任意的一个≥2的整 数.但如众所周知,事情还不只这些.像前面作出正方形的 对角线的表示一样,还有许多具体的问题要求我们在一系列 情况下把全部代数方程的根作为新的数,只要已知方程在我 们已经引进的数中没有根,就会发生这样的情况,因为我们 又不能否认这些根存在,不能剥夺某些完全具体确定的量具 有数的特征 让我们在此方向上进行到底我们称形如P(x)=0的方 程的所有根(实的)为代数数,其中的P(x)为带整系数的任 意的多项式,并且把所有的实的代数数都引人我们的领域特 别地,我们因而把所有形如(1)的数引人了我们的领域因 为数r可定义为方程gx-p=0的根,其中2=r是有理 数r的通常的分数表示,作为更为特殊的情况是任何有理数 r=上作为方程qx-p=0的根也应屏于代数数的集合之 中 可以很容易将代数数的整个领域进行所谓“排序”即指 明一个法则使得对任意两个代数数都能确定谁大谁小;稍微 困难但还不太复杂的是确定一个法则对这些数进行任何通 常的代数运算,使得这些运算的结果始终仍然是代数数因此 这是很重要的关键一对代数数进行代数运算永远只 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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会得出代数数,而不需要引入什么新的数了 也许我们能够现在就停下来,认为实数域的构造完成了, 并且因此把所有的代数数的集合当作连续统? 众所周知,我们不能这样做,并且也熟知为什么不能这 样做.如果对于至今为止许多代数理论而言可以满足于我们 所构造的数的话,则恰恰是对于分析而,限于代数数是完 全不行的、问题在于:数学分析的第一步就要对于初等代数 运算添加基本的且是最重要的分析运算—一极限过程.有很 多情形,有完全具体的理由迫使我们去了解这个或那个数序 列极限的存在,况且,这个极限显现在我们面前是作为有着 具体的且是现实的意义的数,而且在今后我们还期望对它进 行代数运算和分析运算.如果事情是这样的;任何我们认为 应当具有确定的极限的代数数序列,其极限实际上同样存在 于代数数的范围之内,则就可以假设代数数这个范围也就是 连续统除代数数之外,数学分析不再需要任何其他的实数 但事情并非这个样子如果我们取一个半径为1的圆,并 且作出其内接正多边形,无限地增加其边数,则所有这些多 边形的周长都可以用代数数表示,这个数序列的极限我们称 之为圆周长.否认这个极限存在就意味着几何学中不准说到 圆周的长度,你们容易想象得出,这种禁令不仅使几何学,而 且使所有其他用到园形的精确科学都会崩溃. 与此同时,可以证明,在代数数中是没有这个极限的摆 脱这种情形的出路在哪里?出路很明白.我们不得不承认,对 于数学分析而言只有一种代数数是不够的,必须再给它添加 新的实数.所有这些非代数数的实数通常称为“超越数”.我 们上面构造的数(半径为1的圈的周长)表示成2丌,即是说 π是一个超越数.在分析中另一个重要的超越数的例子是熟 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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迕续 悉的数e=2.718…,正如称们了解的邢样,它也是从有理数 出发由简单的枞限过程产生的.c和π的超越性是很晚才被 证明了的,是在19世纪的后半叶.但是引进超越数的必要性 是较早…一些就被指出了的,是在19世纪的中叶,是在另一些 更简单的尽管不太重要的剑子中给出的(由法国数学家I orville作出). 这样,我们的连续统仍然还没有建成.继续下去,我们 应当怎样做呢?我们能否停留于此并且这样说:“连续统就是 所的代数数的全体,再加上“根据需要,把从代数数通过 极限过程得出的但其本身又不是代数数的数(像c和x)添加 进去(作为超越数)?”我们提出这个间题是因为大多数“简 易的”数学分析教程正是以此为基础编写的(当然,通常没 有明说)而回避了阐述完整的无理数理论 不,当然不能这样说,也不能停留在我们现在所在的地 方,对此有一系列简单的、有说服力的原因.首先,作为所 有实数的总体的连续统应当定义为某个固定的集合(例如:按 照上面作出的定义所有的代数数的集合的模式),而不留下以 后再给它添加越来越新的数的可能性.其次,在我们初步的 定义中字跟“根据需要”这个说法显然缺少准确的内容.如 果我们有一个没有代数极限的代数数的序列,或者认为它有 超越极限或者为它完全没有极限,从形式的观点来看,现在 我们有权任意地回答这个问题.如果不是从形式的考虑,而 是按照具体的现实的考虑来选取这个或那个解答,这种作法, 无论它们多么必要,在数学定义中都是不能容许的拒绝数 π的存在,在目前这是极为不利的.但在其他的情况下作类似 的否认可能不会带来任何不便,但是,显然地,那个使我们 “每当没有它就进行不下去”时就引人超越数的准则不论怎么 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第一讲 说都不能成为数学准则最后,从哪里也不能得出,我们可 以满足于以这样的途径引入的数因为新的数还得进行加法 乘法,进行极限过程(对数学分析来说不允许对这些数进行 这些运算是什么也不能做的).由何处我们能够确倍,所有的 运算结果都将是我们的连续统的实数?而如果不是,则又要 补充它们,可见我们的连续统还没有包含所有的实数 因而我们看到,我们所持的立场是不能坚持的,在作出 一个或啊个超越数作例子,然后就说如此“等等”,这样是不 行的,因为我们刚刚已经看到,我们这样并没有定义任何连 续统 因而我们看到要对数学分析作完全的论证,就不可避免 地要建立实数的一般理论,这理论不能限于构造一些新数来 作为例子,而要包含这种构造方法的一般原则,按此原贿可 以刻画出所有实数的集合 无理数的构遼,在科学中有几个不同的连续统理论但 是所有这些理论—牢记这一点是很重要的一一在处理自己 的问题时在思想方面是完全一样的与这些原则性的统-比 较起来,对待它们之间的差别应当像我们在审查建筑物的建 筑设计时看待结构的细节一样 所有这些理沦都把有理数集合作为最初的数据而用统一 的构造原则从中得到所有实数的整个集合.这个原则的形式 在各种理论中是不同的,但是这些理论之间的相似之处还远 不止于我们所已指出的那些.问题在于:选择一种构造原则 以构造新的无理数,在所有的理论中,尽管存在着本质上的 形式上的区别,基础都是同一个思想.这个思想就是:在构 造新数时,基本解析运算极限过程起了首要的、主导的作用, 所遇到的种种方法,都可归结为它,而可看作它的特殊情形 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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连续统 你们知道,即使是整数的平方根也是适当选择的有理数序列 “近似根”)的极限,在另外的情形下也是这样的 根据上述,为了更具体地认识连续统理论的构造,没有 必要在细节上去研究所有这些不同的论证方法,而取其中的 一个作为模型就完全够了.我们在这里将要看到的所有原则 上重要的东西对其他理论都是问样的、我们今后将选择 Dedekind理论并不是因为它有什么它对其他理论本质上的 优越性,而只是一种纯粹外在的理由:占压倒多数的最通用 的教科书都采用它,因而对读者来说不难寻找帮助,读者在 那些书里能够了解我们的表述中漏掉的细节 1.在着手引入无理数之前,我们应当比较仔细地观察 下我们以R来表示的有理数的集合.首先我们来注意该集合 的一个很初等的性质:在任何两个有理数r1和r2之间总可以 找到第三个有理数最为简单的是,注意到和的一半互十 永远是位于n和r2之间的有理数,就可以明白这一点作为 这一事实的推论,我们对它重复应用马土就得出:在n1和r2 之间始终包含有有理数的无穷集 2.现在我们注意观察在我们试图寻找或者定义√2时 产生的那种情况(我们取的是正根),我们首先在有理数中 (对我们来说任何其他的数暂时还不存在)找这样的数,它的 平方等于数2,且容易发现,这种(有理)数不存在(我们在 这里将不进行中学教程中对此一事实的熟知的算术证明)这 就表明:无论我们选择什么样的有理数,我们都将有2<2, 或者r2>2.我们首先只研究正有理数的情形按照刚刚研究 的法则它们自然地分成两类:这样的正有理数r所成的A 类,其中r12<2,以及这样的正有理数r2所成的B类,对于 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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