10 CHAPTER2.数列的极限理论 【证明】利用数学归纳法 当n=2时，(1+1)(1+x2)=1+x1+x2+x1x2>1+x1+x2.故结论显然成立 假设当n=k-1时结论成立，下面考察n=k的情况(k≥3) k-1 k-1 k-1 Π：+)=(+1)：+1)>(%+11+∑)=1+∑+x%∑>1+∑ i- i=1 i=1 其中最后一个不等号是由于x:之间两两同号且不为0： 口 【注】此处给出的不等式与课上讲的有所不同，课上只给出了不严格的不等式，当然它的 限制条件要比这里弱(n≥1且x:=0可能发生).事实上，这里是一个更强的结论 【推论2.2】设n≥2是自然数，x>-1(亿=1,2，，n)且x≠0，则有(1+x)n>1+nx.口 【定理2.3】（平均值不等式）设a:>0(i=1,2,,n),则有调和平均数、几何平均数、算术 平均数、平方平均根依次递增，即 a i1 并且当且仅当所有a:相等的时候，所有不等式取等号 【证明】()利用倒推数学归纳法，先证明几何平均数小于等于算术平均数 当=2时，它是最简单的二维的均值不等式，大家高中学过，此处不加证明 假设当n=2-1时成立(k≥2)，考察n=2的情况 三-三+克三小(+直刘 因此对于n=2*的情况得证.并且取等条件为所有a:相等 假设当=大+1时皮立体≥2，考察知=k的格况设=古公4则 面会远 从而由倒推数学归纳法，知结论得证.并且取等条件为所有α：相等
10 CHAPTER 2. 数列的极限理论 【证明】利用数学归纳法. 当n = 2时，(1 + x1)(1 + x2) = 1 + x1 + x2 + x1x2 > 1 + x1 + x2. 故结论显然成立. 假设当n = k − 1时结论成立，下面考察n = k的情况(k > 3). Y k i=1 (xi + 1) = (xk + 1) k Y−1 i=1 (xi + 1) > (xk + 1)(1 +X k−1 i=1 xi) = 1 +X k i=1 xi + xk X k−1 i=1 xi > 1 +X k i=1 xi 其中最后一个不等号是由于xi之间两两同号且不为0. 【注】此处给出的不等式与课上讲的有所不同，课上只给出了不严格的不等式，当然它的 限制条件要比这里弱(n > 1 且xi = 0 可能发生). 事实上，这里是一个更强的结论. 【推论2.2】设n > 2 是自然数，x > −1(i = 1, 2, ..., n)且x 6= 0，则有(1 + x) n > 1 + nx. 【定理2.3】(平均值不等式)设ai > 0(i = 1, 2, ..., n)，则有调和平均数、几何平均数、算术 平均数、平方平均根依次递增，即 n Xn i=1 1 ai 6 n vuut Yn i=1 ai 6 1 n Xn i=1 ai 6 vuut 1 n Xn i=1 a 2 i . 并且当且仅当所有ai相等的时候，所有不等式取等号. 【证明】(I)利用倒推数学归纳法，先证明几何平均数小于等于算术平均数. 当n = 2时，它是最简单的二维的均值不等式，大家高中学过，此处不加证明. 假设当n = 2k−1时成立(k > 2)，考察n = 2k的情况. 1 2 k 2 Xk i=1 ai = 1 2 1 2 k−1 2 Xk−1 i=1 ai + 1 2 k−1 2 Xk i=2k−1+1 ai > 1 2 2 k−1 vuut 2 Yk−1 i=1 ai + 2 k−1 vuut 2 Yk i=2k−1+1 ai > 2 k vuut 2 Yk i=1 ai 因此对于n = 2k的情况得证. 并且取等条件为所有ai相等. 假设当n = k + 1时成立(k > 2)，考察n = k的情况. 设a = 1 k − 1 X k−1 i=1 ai . 则 k vuuta k Y−1 i=1 ai 6 1 k (a + X k−1 i=1 ai) = a ⇒ k−1 vuut k Y−1 i=1 ai 6 1 k − 1 X k−1 i=1 ai 从而由倒推数学归纳法，知结论得证. 并且取等条件为所有ai相等
2.1.常用不等式 11 (II)对于(I)中所证结论，将每个a换成它的倒数，有 即调和平均数不超过几何平均数得证.并且由（①）知取等条件为所有α：相等 (I)下面通过反复使用()中几何平均数不超过算术平均数的二维形式来证明算术平均数不 超过平方平均根， 空aP-+2a4++=→ n k=1 1<i<j<n k=11<i<j<n k=1 i=1 =1 同样由（①）知取等条件为所有a:相等 ◇ 【定理2.4】（离散形式的Cauchy(1789-1857)-Schwarz(1843-1921)不等式）设x,∈R(i= 1,2,,n),则 （∑2≤（∑∑） i=1 =1 i=1 当且仅当x,与：对应成比例时取等 【证明】考察二次函数f)=∑(t+)2.易知其判别式非负，从而结论得证.考察它的 取等条件，即f(t)为一个完全平方式，即to∈R,s.t.f(to)=0.故对i,xto+:=0,这 当然说明x:与：对应成比例 ▣ 【定理2.5】（三角不等式）对于任意的实数a,b,我们有 lad-lbl≤la+l≤la+lb Ial-lbl≤la-b≤la+lbl ab=-albl时，第一个和第四个不等号取等；ab=ab时，第二个和第三个不等号取等 【证明】只需将不等式两侧平方即可，留作练习 □ 有了以上几个最基础的不等式作为基础，我们给出两个简单的不等式的证明作为例子， 随着我们学习的深入，将来会遇到更多的不等式，届时会继续补充 【例2.1】(2上的Minkowski(s61909)不等式)（∑a:+PA)≤（∑）+(）) 【证明】直接使用Cauchy-Schwarz不等式： 2au+=+保+a k-1
2.1. 常用不等式 11 (II)对于(I)中所证结论，将每个ai换成它的倒数，有 n vuut Yn i=1 1 ai 6 1 n Xn i=1 1 ai ⇒ n Xn i=1 1 ai 6 n vuut Yn i=1 ai 即调和平均数不超过几何平均数得证. 并且由(I)知取等条件为所有ai相等. (III)下面通过反复使用(I)中几何平均数不超过算术平均数的二维形式来证明算术平均数不 超过平方平均根. ( Xn i=1 ai) 2 = Xn k=1 a 2 i + X 1<i<j<n 2aiaj 6 Xn k=1 a 2 i + X 1<i<j<n (a 2 i +a 2 j ) = n Xn k=1 a 2 i ⇒ 1 n Xn i=1 ai 6 vuut 1 n Xn i=1 a 2 i 同样由(I)知取等条件为所有ai相等. 【定理2.4】(离散形式的Cauchy(1789-1857)-Schwarz(1843-1921) 不等式)设xi , yi ∈ R(i = 1, 2, ..., n)，则 ( Xn i=1 xiyi) 2 6 ( Xn i=1 x 2 i )(Xn i=1 y 2 i ). 当且仅当xi与yi对应成比例时取等. 【证明】考察二次函数f(t) = Xn i=1 (xit + yi) 2 . 易知其判别式非负，从而结论得证. 考察它的 取等条件，即f(t)为一个完全平方式，即∃t0 ∈ R，s.t.f(t0) = 0. 故对∀i，xit0 + yi = 0，这 当然说明xi与yi 对应成比例. 【定理2.5】(三角不等式)对于任意的实数a，b，我们有 |a| − |b| 6 |a + b| 6 |a| + |b| |a| − |b| 6 |a − b| 6 |a| + |b| ab = −|a||b|时，第一个和第四个不等号取等；ab = |a||b|时，第二个和第三个不等号取等. 【证明】只需将不等式两侧平方即可，留作练习. 有了以上几个最基础的不等式作为基础，我们给出两个简单的不等式的证明作为例子. 随着我们学习的深入，将来会遇到更多的不等式，届时会继续补充. 【例2.1】(L 2上的Minkowski(1864-1909)不等式) Xn k=1 (ak+bk) 2 1 2 6 Xn k=1 a 2 k 1 2 + Xn k=1 b 2 k 1 2 . 【证明】直接使用Cauchy-Schwarz不等式： Xn k=1 (ak + bk) 2 = Xn k=1 a 2 k + Xn k=1 b 2 k + 2Xn k=1 akbk
12 CHAPTER2.数列的极限理论 会+2+2空空1+空陶明 ▣ k=1 k=1 k=1 【2】无男>有<（后）产 【证明】考察(n)2,我们有 -Ⅱ+1-<空a+1-='空-2 n k=1 --++yr-a++2r<2口 2.2 基本概念 【定义2.6】设{a}是给定的数列，若存在a∈R,使得对ve>0,总存在一个自然 数n与e有关，使得当n>N时有lan-al<e成立.这时称a为数列{an}的极限，记作lim an- a或an→a(n→o).对于有极限的数列，我们称之为收敛数列，否则称为发散数列， 这个定义，是由Cauchy最先给出.虽然在给出之前，Newton(1643-1727)便已经发明了 微积分，但是当时他对于微积分的使用不是十分严谨，经常对一些留数（即剩余的高阶无穷 小)时而当成0忽略，时而又可以做除法，当然这很难具有说服力和严密性.但是极限定义的 给出，标志着数学分析理论的完善，也经常被视为初等数学与高等数学的分界线.当然，这 个概念也是需要同学们多花一些时间取理解的，下面举几个例子来说明一下这条定义， 【例2.3】用极限的定义证明lim n! 对于Ve>0,N=+1EN,st对mn>N有0 通过上述证明过程，我们可以看出在极限定义的使用中有如下几个特点： (1)N的选取与E有关，但是它只有充分大即可，可以在一个数值的基础+1，那么便可 以+10，+100： (2)代表的是任意的正数，实际它更想表达的是充分小的正数，因此你完全可取类 似0<e<1的条件： (3)由于ε的任意性，我们如果能够证明<Me也可完成证明(M为正的常数)： (4)由上面的一条我们得知，如果你能导出≤ε也可以完成证明： (⑤)这类题目通常需要读者具有良好的不等式放缩技巧. 【例2.4】设mn=AeR证明：∑=A 7 n→00m 21
12 CHAPTER 2. 数列的极限理论 6 Xn k=1 a 2 k + Xn k=1 b 2 k + 2(Xn k=1 a 2 k ) 1 2 ( Xn k=1 b 2 k ) 1 2 = ( Xn k=1 a 2 k ) 1 2 + (Xn k=1 b 2 k ) 1 2 2 . 【例2.2】证明：当n > 1时，有n! < n + 2 √ 6 n . 【证明】考察(n!)2，我们有 (n!)2 = Yn k=1 k(n + 1 − k) < 1 n Xn k=1 k(n + 1 − k) n = (n + 1 n Xn k=1 k − 1 n Xn k=1 k 2 ) n = (n + 1)2 2 − (n + 1)(2n + 1) 6 n = (n + 1)(n + 2) 6 n < (n + 2)2 6 n . 2.2 基本概念 【定义2.6】设{an}是给定的数列，若存在a ∈ R，使得对∀ε > 0，总存在一个自然 数n与ε有关，使得当n > N时有|an−a| < ε 成立. 这时称a为数列{an}的极限，记作 limn→∞ an = a或an → a (n → ∞). 对于有极限的数列，我们称之为收敛数列，否则称为 发散数列. 这个定义，是由Cauchy最先给出. 虽然在给出之前，Newton(1643-1727)便已经发明了 微积分，但是当时他对于微积分的使用不是十分严谨，经常对一些留数(即剩余的高阶无穷 小)时而当成0忽略，时而又可以做除法，当然这很难具有说服力和严密性. 但是极限定义的 给出，标志着数学分析理论的完善，也经常被视为初等数学与高等数学的分界线. 当然，这 个概念也是需要同学们多花一些时间取理解的，下面举几个例子来说明一下这条定义. 【例2.3】用极限的定义证明 limn→∞ n! nn = 0. 【证明】对于∀ε > 0，∃N = h 1 ε i + 1 ∈ N，s.t.对∀n > N 有 n! nn 6 1 · n n−1 nn = 1 n < ε. 通过上述证明过程，我们可以看出在极限定义的使用中有如下几个特点： (1)N的选取与ε有关，但是它只有充分大即可，可以在一个数值的基础+1，那么便可 以+10，+100； (2)ε代表的是任意的正数，实际它更想表达的是充分小的正数，因此你完全可取类 似0 < ε < 1的条件； (3)由于ε的任意性，我们如果能够证明< Mε也可完成证明(M为正的常数)； (4)由上面的一条我们得知，如果你能导出6 ε也可以完成证明； (5)这类题目通常需要读者具有良好的不等式放缩技巧. 【例2.4】设 limn→∞ xn = A ∈ R. 证明： limn→∞ 1 n Xn i=1 xi = A
2.3. 常用性质 13 【证明】我们只需证明片∑-A-∑G-)）→0→∞ 2=1 不妨设A=0.从而对Ve>0,N∈N*,s.t.n>N,znl<e.设n>N,我们有 2≤立+≤方+"，" 由于N已经被固定，此时选取了m>N,所有只与N有关的量就是有限多的了，故 令n→∞，我们有 m即l片∑小≤6.令e→0，有典∑4=0 □ n→0 n→om 【注】有很多类题目都需要使用这种分段的技巧来证明极限，利用的是当两部分分别会有 不同部分足够小的特性，而在这个过程中，我们通常需要对一些项进行配凑 2.3 常用性质 【定理2.7】收敛数列极限唯一，且有限多项值改变不会影响其收敛性与极限 【定理2.8】若an<bn(其中的<可以改为≤)，且an→a,bn→b(n→o),则a≤b 【注】【定理2.8】表明在极限存在的情况下，可以对一个不等式两侧令某个变量趋于 一个数，从而得到关于它们极限的方向一样的一个不严格不等式.而事实上，极限的定 义要求我们证明an-a<(≤)e,最后就是一个先令n→o,再令e→0的过程，从而 有，ia,-a≤0，即，1iman=a.这里先令n→o,再令e→0的原因是N的选取是与c有 关的，而n>N,故当e→0时，会导致与e有关的产生不可估计的变化，无法做出结果 正是这种不同变量之间有先后次序地取极限的问题，是极限理论中的难点，需要读者多花 些时间、多看一些题目去理解 【推论2.9】（夹逼准则）若对于充分大的n,有an≤cn≤bn,且数列{an}与{bn}均收敛于a, 则数列{cn}也收敛到a. 【定理2.10】{an}收敛于a当且仅当它的任意子列收敛于a. 【定理2.11】(Cauchy!收敛准则)收敛数列与基本列等价.基本列{an}满足： ∀e>0,N∈N*,s.t.m,m>N,lan-aml<e. 【注】(1)请读者试着写出数列发散的Cauchy判别法则： (2)Cauchy收敛准则有极限等价描述：{an}是Cauchy列分.-am=0:
2.3. 常用性质 13 【证明】我们只需证明 1 n Xn i=1 xi − A = 1 n Xn i=1 (xi − A) → 0(n → ∞). 不妨设A = 0. 从而对∀ε > 0，∃N ∈ N ∗，s.t. ∀n > N，|xn| < ε. 设n > N，我们有 1 n Xn i=1 xi 6 1 n X N i=1 xi + 1 n Xn i=N+1 |xi | 6 1 n X N i=1 xi + n − N n ε 由于N已经被固定，此时选取了∀n > N，所有只与N有关的量就是有限多的了，故 令n → ∞，我们有 lim sup n→∞ 1 n Xn i=1 xi 6 ε. 令ε → 0，有 limn→∞ 1 n Xn i=1 xi = 0. 【注】有很多类题目都需要使用这种分段的技巧来证明极限，利用的是当两部分分别会有 不同部分足够小的特性，而在这个过程中，我们通常需要对一些项进行配凑. 2.3 常用性质 【定理2.7】收敛数列极限唯一，且有限多项值改变不会影响其收敛性与极限. 【定理2.8】若an < bn(其中的<可以改为6)，且an → a，bn → b(n → ∞)，则a 6 b. 【注】【定理2.8】表明在极限存在的情况下，可以对一个不等式两侧令某个变量趋于 一个数，从而得到关于它们极限的方向一样的一个不严格不等式. 而事实上，极限的定 义要求我们证明|an − a| < (6)ε，最后就是一个先令n → ∞，再令ε → 0 的过程，从而 有 limn→∞ |an − a| 6 0，即 limn→∞ an = a. 这里先令n → ∞，再令ε → 0 的原因是N的选取是与ε有 关的，而n > N，故当ε → 0时，会导致与ε 有关的n产生不可估计的变化，无法做出结果. 正是这种不同变量之间有先后次序地取极限的问题，是极限理论中的难点，需要读者多花 些时间、多看一些题目去理解. 【推论2.9】(夹逼准则)若对于充分大的n，有an 6 cn 6 bn，且数列{an}与{bn}均收敛于a， 则数列{cn}也收敛到a. 【定理2.10】{an}收敛于a当且仅当它的任意子列收敛于a. 【定理2.11】(Cauchy收敛准则)收敛数列与基本列等价. 基本列{an}满足： ∀ε > 0，∃N ∈ N ∗，s.t. ∀n, m > N，|an − am| < ε. 【注】(1)请读者试着写出数列发散的Cauchy判别法则； (2)Cauchy收敛准则有极限等价描述：{an}是Cauchy列⇔ lim m,n→∞ |an − am| = 0；
14 CHAPTER2.数列的极限理论 (3)Cauchy收敛准则等价于：e>0,3N∈N*,当n>V时，lan+p-anl<e(付p∈N): (4)上一条也具有极限等价描述：{an}是Cauchy列÷limlim lan+p-an=O. n-oo n- 【定理2.12】（单调有界原理）单调有界数列必收敛， 【定理2.13】(Bolzano(1781-1848)-Weierstrass(1815-1897)紧致性定理)有界数列必有收 敛子列： 【定理2.14】收敛数列之间在收敛运算下保持四则运算.但是除法运算需要排除分母数列极 限为0的情况 【注】这条定理在对两个数列使用时一定要注意必须二者极限均存在，下面举例说明 【例2.5】若收敛数列{an}满足an≠0，能否断定1iman=1? →ooan+1 【解】不能.根源在于α极限可能为0，如不为0，由极限除法运算法则知结论成立. 反例：an=2-n。 ▣ 【例2.6】若数列{an,{bn}满足anbn→0(n→∞.是否必有二者至少有一极限为0？若还 假设{an}收敛，请再次回答上述问题 【解】第一个问题，不是 取{an}满足奇数项为0，偶数项为1，{bn}满足奇数项为1，偶数项为0，此即反例， 第二个问题，一定 设{am}的极限为a,若a≠0，由极限除法法则，bn=,b→0 =0(n→∞). 0 an 【定义2.15】设数列{an}满足对任意M>0,存在N∈N*,s.t.n>N,有an>M,则称 数列{an}发散到无穷大，记作lim an=o或an→o(n→oo).我们也把这种数列叫做无穷 大量.类似地，我们还可以定义发散到正无穷或负无穷 【定理2.16】单调数列发散到无穷大当且仅当它无界 【例2.7】求证lim[(n+1)k-n匀=0(0<k<1) 【证明】0<n+1-=[(+)-<(+是-)=-1→0a→o口 【例2.8】求证极限1imxn=lim 【证明】使用均值不等式容易证明{(1+)”}单调递增趋于e,{1+)m+}单调递减趋于e, +r<e<+)→本<(+月<aem 把上式前n项求和，便有：】 <ho+含
14 CHAPTER 2. 数列的极限理论 (3)Cauchy收敛准则等价于：∀ε > 0，∃N ∈ N ∗，当n > N时，|an+p − an| < ε(∀p ∈ N ∗ )； (4)上一条也具有极限等价描述：{an}是Cauchy列⇔ limn→∞ lim p→∞ |an+p − an| = 0. 【定理2.12】(单调有界原理)单调有界数列必收敛. 【定理2.13】(Bolzano(1781-1848)-Weierstrass(1815-1897))紧致性定理) 有界数列必有收 敛子列. 【定理2.14】收敛数列之间在收敛运算下保持四则运算. 但是除法运算需要排除分母数列极 限为0的情况. 【注】这条定理在对两个数列使用时一定要注意必须二者极限均存在，下面举例说明. 【例2.5】若收敛数列{an}满足an 6= 0，能否断定 limn→∞ an an+1 = 1？ 【解】不能. 根源在于an极限可能为0，如不为0，由极限除法运算法则知结论成立. 反例：an = 2−n . 【例2.6】若数列{an}，{bn}满足anbn → 0(n → ∞). 是否必有二者至少有一极限为0？若还 假设{an}收敛，请再次回答上述问题. 【解】第一个问题，不是. 取{an}满足奇数项为0，偶数项为1，{bn}满足奇数项为1，偶数项为0，此即反例. 第二个问题，一定. 设{an}的极限为a，若a 6= 0，由极限除法法则，bn = anbn an → 0 a = 0(n → ∞). 【定义2.15】设数列{an}满足对任意M > 0，存在N ∈ N ∗，s.t.∀n > N，有|an| > M，则称 数列{an}发散到无穷大，记作 limn→∞ an = ∞或an → ∞(n → ∞). 我们也把这种数列叫做无穷 大量. 类似地，我们还可以定义发散到正无穷或负无穷. 【定理2.16】单调数列发散到无穷大当且仅当它无界. 【例2.7】求证 limn→∞ [(n + 1)k − n k ] = 0 (0 < k < 1). 【证明】0 < (n + 1)k − n k = n k h1 + 1 n k − 1 i < nk 1 + 1 n − 1 = n k−1 → 0 (n → ∞). 【例2.8】求证极限 limn→∞ xn = limn→∞ hXn k=1 1 k − ln(n + 1)i 存在. 【证明】使用均值不等式容易证明{(1 + 1 n ) n }单调递增趋于e，{(1 + 1 n ) n+1}单调递减趋于e. 1 + 1 n n < e < 1 + 1 n n+1 ⇒ 1 n + 1 < ln 1 + 1 n < 1 n (n ∈ N ∗ ). 把上式前n项求和，便有： Xn+1 k=2 1 k < ln (n + 1) < Xn k=1 1 k