5.4.3微积分基本定理.. 62 5.5 Riemann可积性理论 63 5.6反常积分 65 5.7积分不等式 67 5.8 Stirling公式 67 5.9第5章习题 67 5.10第5章问题.... 68 6单变量微积分的应用 69 6.1 Taylor公式与数值计算 69 6.2函数作图问题..... 。 69 63平面曲线的曲率.... 69 6.4面积、体积的计算问题... 70 6.5常微分方程基本理论···· 70 6.6一、二阶常系数线性微分方程. 70 6.7一般的二阶线性微分方程 70 6.8高阶常系数线性微分方程 70 6.9第6章习题.... 70 6.10第6章问题 71 A实数理论简介 72 A.1实数系的基本性质 72 A.2实数基本定理·· 72 A.3集合论初步 75 B常见函数微分学公式 77 C常用积分表 78 C1基本积分表.... 78 参考文献 79
5.4.3 微积分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.5 Riemann可积性理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.6 反常积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.7 积分不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.8 Stirling公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.9 第5章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.10 第5章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6 单变量微积分的应用 69 6.1 Taylor公式与数值计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.2 函数作图问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3 平面曲线的曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.4 面积、体积的计算问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.5 常微分方程基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.6 一、二阶常系数线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.7 一般的二阶线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.8 高阶常系数线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.9 第6章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.10 第6章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 A 实数理论简介 72 A.1 实数系的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.2 实数基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.3 集合论初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 B 常见函数微分学公式 77 C 常用积分表 78 C.1 基本积分表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 参考文献 79
Chapter 1 基础知识 西江月证明 即得易见平凡，仿照上例显然.留作习题答案略，读者自证不难 反之亦然同理，推论自然成立.略去过程QED,由上可知证毕， 一数学虐我千百遍，我待数学如初恋. 来数院吧，柯西永远爱你 本章主要介绍一些关于高中与大学衔接的数学预备知识， 1.1常见数学符号 数学中有一些常见符号需要了解 大多数情况下，一种符号上被打了一个斜杠，有可能是向左，也可能向右，表示的是 对该符号的否定， 表示任意，表示存在，表示存在唯一，一表示否命题，→表示推出，台表示等价 于 此外，还有一部分专门记号，比如：=表示定义为.s.t.表示使得.i.e.表示即为 常见集合符号有：Z+或N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理 数集，R表示实数集，C表示复数集 A×B:={(a,b)川a∈A,b∈B}表示A与B的笛卡尔积或直积 1
Chapter 1 基础知识 西江月·证明 即得易见平凡，仿照上例显然. 留作习题答案略，读者自证不难. 反之亦然同理，推论自然成立. 略去过程QED，由上可知证毕. ——数学虐我千百遍，我待数学如初恋. 来数院吧，柯西永远爱你. 本章主要介绍一些关于高中与大学衔接的数学预备知识. 1.1 常见数学符号 数学中有一些常见符号需要了解. 大多数情况下，一种符号上被打了一个斜杠，有可能是向左，也可能向右，表示的是 对该符号的否定. ∀表示任意，∃表示存在，∃!表示存在唯一，¬表示否命题，⇒表示推出，⇔ 表示等价 于. 此外，还有一部分专门记号，比如：:=表示定义为. s.t.表示使得. i.e.表示即为. 常见集合符号有：Z+或N ∗表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q 表示有理 数集，R表示实数集，C表示复数集. A × B := {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}表示A与B的笛卡尔积或直积. 1
2 CHAPTER1.基础知识 A△B:=(A小B)U(B\A)叫做A与B的对称差集，它表示这两个集合的差别. 关于求和号的使用： ∑f()=f(m)+f(m+1)++f(m): 类似地，也有求积号： f()=f(m)f(m+1)f(n).其中的被称为求和（积）指标， i=m 是一种哑符号」 当然，求和号的使用是为了便于书写，它的上下标也可以多种多样，具体情况会有具 体说明.此外，对于U、∩、取最大值max、取最小值min等运算也可以做类似地上下标以简 化书写 我们使用B(x,r)表示R”中x以为中心，r为半径的球，也被称作邻域， 设f(x)和g(x)为多项式，则f(x川g(x)表示f(x)整除g(x). 组合数在大学中习惯表示为()）-品工e-,值得注意的是，其中的：可以为任 n-1 k0 意实数 对于n∈N,我们定义(2m-1)加=Π2k-1),(2m)川=Π2)， 取整函数[表示不超过x的最大整数，并定义取小数函数{x}:=x一【： 三是恒等的意思，例如一个函数f(x)三c表示恒为常数 在证明的结尾，通常我们会写口或QED表示证明完毕的意思 1.2 映射 数学的研究通常离不开集合，而一个不具有好的性质的集合通常是“无趣的”.我们经常 在那些好的集合内部定义一些结构，例如：代数结构（群、环、域）、拓扑结构（连通、紧 性)等等，而在集合之间需要映射来构造它们的联系 【定义1.1】映射是指两个集合之间元素的相互对应关系 考虑集合A到B的一个映射f:A→B.我们称A为原像集或定义域，B为值域，Imf= f(A):={f(a)∈Bla∈A}为像集.有一些特殊的映射具有良好的性质，比如说： 【定义1.2】单射是指对Vx,y∈A,x≠y,则有f(x)≠f(y) 【定义1.3】满射是指f(A)=B. 【定义1.4】既是单射，又是满射的映射，我们称之为双射 对于单射，我们可以定义它的逆映射，即∫-1如果一个映射不是单射，我们可以对 于b∈B定义它的原像集f-1(b):={a∈Af(a)=b}.显然，当且仅的f为单射时，它的原像 集才至多只有唯一的元素，从而逆映射才有意义：
2 CHAPTER 1. 基础知识 A4B := (A\B) S (B\A)叫做A与B的对称差集，它表示这两个集合的差别. 关于求和号的使用： Xn i=m f(i) = f(m) + f(m + 1) + ... + f(n). 类似地，也有求积号： Yn i=m f(i) = f(m)f(m + 1)...f(n). 其中的i被称为求和(积)指标， 是一种哑符号. 当然，求和号的使用是为了便于书写，它的上下标也可以多种多样，具体情况会有具 体说明. 此外，对于 S、 T、取最大值max、取最小值min等运算也可以做类似地上下标以简 化书写. 我们使用B(x, r)表示R n中x以为中心，r为半径的球，也被称作邻域. 设f(x)和g(x)为多项式，则f(x)|g(x)表示f(x)整除g(x). 组合数在大学中习惯表示为 x m = 1 m! mY−1 k=0 (x − k). 值得注意的是，其中的x可以为任 意实数. 对于n ∈ N ∗，我们定义(2n − 1)!! = Yn k=1 (2k − 1)，(2n)!! = Yn k=1 (2k). 取整函数[x]表示不超过x的最大整数，并定义取小数函数{x} := x − [x]. ≡是恒等的意思，例如一个函数f(x) ≡ c表示恒为常数. 在证明的结尾，通常我们会写 或Q.E.D.表示证明完毕的意思. 1.2 映射 数学的研究通常离不开集合，而一个不具有好的性质的集合通常是“无趣的”.我们经常 在那些好的集合内部定义一些结构，例如：代数结构(群、环、域)、拓扑结构(连通、紧 性)等等，而在集合之间需要映射来构造它们的联系. 【定义1.1】映射是指两个集合之间元素的相互对应关系. 考虑集合A到B的一个映射f : A → B. 我们称A为原像集 或定义域，B为值域，Imf = f(A) := {f(a) ∈ B|a ∈ A}为 像集. 有一些特殊的映射具有良好的性质，比如说： 【定义1.2】单射是指对∀x, y ∈ A，x 6= y，则有f(x) 6= f(y). 【定义1.3】满射是指f(A) = B. 【定义1.4】既是单射，又是满射的映射，我们称之为 双射. 对于单射，我们可以定义它的逆映射，即f −1如果一个映射不是单射，我们可以对 于b ∈ B定义它的原像集f −1 (b) := {a ∈ A f(a) = b}. 显然，当且仅的f为单射时，它的原像 集才至多只有唯一的元素，从而逆映射才有意义
1.3.等价关系、等价与分拆 3 【定义1.5】映射的复合是指：（fog)(x)=f(g(x) 容易验证，映射的复合满足结合律，但是同样容易举出反例，映射的复合不满足交换 律.由此可知，结合律是更一般的规律.当A、B为数集（狭义地，可以理解为R”或C的子 集)的时候，称为函数.当A、B为一般的集合，称为泛函，在有的学科中也被称为算子 1.3 等价关系、等价与分拆 【定义1.6】集合A中的元素之间的关系~，若具有如下性质，我们称其为等价关系，并记 作x~y: (1)(自反性)对所有a∈A,a~a. (2)(对称性)如果a心b,则ba. (3)(传递性)如果a~b且b~c,则a~c. 【性质1.7】其中的任意两条均不可推出第三条.注意(2)(3)无法推出(1)的反例要找一个元 素在这个集合中没有任意一个元素（包括它本身）和它等价.读者可自行验证， 【定义1.8】我们将集合A分解为若干子集的无交并（即两两不相交的集合之并），称作A的一 个分拆 【定义1.9】对于集合A上的任一元素a,我们定义a所在的等价类[al={b∈Ab~a},即 所有与a等价的元素组成的集合.记A/~为A中所有等价类组成的集合，即A/~:={[aa∈ A(去掉重复项.故A-U[@为A的无交并表示，从而我们由这个等价关系得到了一个 a]EA/~ 分拆.同理，我们可以从任意一个分拆得到一种等价关系，请读者自行完成思考.于是我们 有： 【定理1.10】集合A的分拆与定义在A上的等价关系一一对应. 1.4一些函数的常见性质 1.4.1和差化积与积化和差公式 【定理1.11】（和差化积） sinx+siny=2sinyco E一y x十yE-y COS- 2 cosx cosy =2 cos -COS- 2 x+yx二y +y.2 cosa-cos =-2 sin 2 x-y sin-siny=2 cos- 2 sin- 2 sin 2 【定理1.12】（积化和差）
1.3. 等价关系、等价与分拆 3 【定义1.5】映射的复合是指：(f ◦ g)(x) = f g(x) . 容易验证，映射的复合满足结合律，但是同样容易举出反例，映射的复合不满足交换 律. 由此可知，结合律是更一般的规律. 当A、B为数集(狭义地，可以理解为R n或C n的子 集)的时候，f称为函数. 当A、B为一般的集合，f称为泛函，在有的学科中也被称为算子. 1.3 等价关系、等价与分拆 【定义1.6】集合A中的元素之间的关系∼，若具有如下性质，我们称其为等价关系，并记 作x ∼ y： (1)(自反性) 对所有a ∈ A，a ∼ a. (2)(对称性)如果a ∼ b，则b ∼ a. (3)(传递性)如果a ∼ b且b ∼ c，则a ∼ c. 【性质1.7】其中的任意两条均不可推出第三条. 注意(2)(3)无法推出(1)的反例要找一个元 素在这个集合中没有任意一个元素(包括它本身)和它等价. 读者可自行验证. 【定义1.8】我们将集合A分解为若干子集的无交并(即两两不相交的集合之并)，称作A的一 个 分拆. 【定义1.9】对于集合A上的任一元素a，我们定义a所在的等价类[a] = {b ∈ A|b ∼ a}，即 所有与a等价的元素组成的集合. 记A/ ∼为A中所有等价类组成的集合，即A/ ∼:= {[a]|a ∈ A}(去掉重复项. 故A = [ [a]∈A/∼ [a]为A的无交并表示，从而我们由这个等价关系得到了一个 分拆. 同理，我们可以从任意一个分拆得到一种等价关系，请读者自行完成思考. 于是我们 有： 【定理1.10】集合A的分拆与定义在A上的等价关系一一对应. 1.4 一些函数的常见性质 1.4.1 和差化积与积化和差公式 【定理1.11】(和差化积) sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x − y 2 cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x − y 2 sin x − sin y = 2 cos x + y 2 sin x − y 2 cos x − cos y = −2 sin x + y 2 sin x − y 2 . 【定理1.12】(积化和差)
CHAPTER1.基础知识 sin xsiny=- os(x+y）-cos(x-) coscosy=cos()+cos(-y) 2 sin x cosy= sin(x+y）+sin(x-y） 2 cos asiny= sin(x+y）-sin(x-y) 2 1.4.2双曲函数与反双曲函数 大学中还会接触一类双曲函数.它们的定义如下： 双曲正弦sinh z:= ex-e-x 2 双曲余弦cosha:= ezte-z 2 er-e-z 双曲正切tanh:=e+e 【定理1.13】它们有如下的类似三角函数的常见公式： sinh(x±y)=sinh x coshy±cosh r sinhy cosh(x±y)=cosh x cosh y士sinh x sinhy cosh2x-sinh2x =1 cosh2x+sinh2x=cosh 2x sinh 2x =2 sinhx cosh x. 考虑它们的反函数，下面给出结论，希望读者试着自己推导并求定义域： arcsinh z In(z+Vx2 +1), arccosh z In(x+vx2-1), 1 ,1+x arctanh x =In 2"1-x 最后给出双曲函数与反双曲函数的图像： e 图1,1中由上之下依次是双曲余弦函数、y=2(当x→+∞时它们的公共渐近曲线、双 曲正弦函数， 图1.2中间的是双曲正切函数，上下是它的两条渐进线则=士1. 图1.3上面的是反双曲正弦函数，下面的是反双曲余弦函数.图1.4为双曲正切函数.由 这些函数图像不难得出它们的定义域. ↑y 2 2 -3 -2 -3-2-1 12 3 图1.1双曲正弦与双曲余弦函数 图1.2双曲正切函数
4 CHAPTER 1. 基础知识 sin x sin y = − cos (x + y) − cos (x − y) 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x − y) 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x − y) 2 cos x sin y = sin (x + y) − sin (x − y) 2 . 1.4.2 双曲函数与反双曲函数 大学中还会接触一类双曲函数. 它们的定义如下： 双曲正弦sinh x := e x − e −x 2 ， 双曲余弦cosh x := e x + e −x 2 ， 双曲正切tanh x := e x − e −x e x + e −x . 【定理1.13】它们有如下的类似三角函数的常见公式： sinh(x±y) = sinh x cosh y±cosh x sinh y cosh(x±y) = cosh x cosh y±sinh x sinh y cosh2 x − sinh2 x = 1 cosh2 x + sinh2 x = cosh 2x sinh 2x = 2 sinh x cosh x. 考虑它们的反函数，下面给出结论，希望读者试着自己推导并求定义域： arcsinh x = ln(x + √ x 2 + 1)， arccosh x = ln(x + √ x 2 − 1)， arctanh x = 1 2 ln 1 + x 1 − x . 最后给出双曲函数与反双曲函数的图像： 图1.1中由上之下依次是双曲余弦函数、y = e x 2 (当x → +∞时它们的公共渐近曲线)、双 曲正弦函数. 图1.2 中间的是双曲正切函数，上下是它的两条渐进线y = ±1. 图1.3上面的是反双曲正弦函数，下面的是反双曲余弦函数. 图1.4为双曲正切函数. 由 这些函数图像不难得出它们的定义域. −3 −2 −1 1 2 3 −2 2 x y −3 −2 −1 1 2 3 −2 2 x y 图1.1 双曲正弦与双曲余弦函数 图1.2 双曲正切函数